DSC07357

132

Geometria analityczna w przestrzeni

wspólliniowc. Wektor normalny rti płaszczyzny iri : 2z + 3y — 6z + 30 = 0 ma posiać Ai = (2,3. —5). Natomiast wektor normalny >1} płaszczyzny

-i: (x,y,:) = (—5,2,1) + s(0,5.3) + t(l, 1,1), gdzie s.teR

ma postać

no = (0,5,3) x (1,1,1) = (2,3, -5).

Ponieważ wektory rti i Hj są wspólliniowc, więc płaszczyzny i jtj są równoległe.

Przykład 5.16

Znaleźć punkty przecięcia:

* —1 y + 3 z—1    , x—1 y — 2

2

a) prostych 1> :

-1

la

-4

b) prostej 1:

{* = 1 +1, V = -31, z=4-t.

3    2    1

gdzie 1 € R i płaszczyzny ir : x + y + x — 7 = 0;

c) płaszczyzn jtj : (x,y,z) = (0,0,0) + r(l,— 2,4) + s(0, —1,3), gdzie r,s€R, xj : (x, y, z) = (1,-1,1) + 1(1,1,1)+ u(—1,0,0), gdzie u € R, »₃ : (x,y,z) = (2,3,3) + u(l,0,0) + ui(Q, —2, — 1) gdzie ii.aifiR.

Rozwiązanie

a) Współrzędne (x,y,z) punktu przecięcia prostych li i la spełniają układ równań

{X - 1 _ y + 3 _ 3-1

^_ . ■ 2 j | 7~1[^ i -4 f

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb

i

*=-i,

y= 1.

Zatem punkt wspólny prostych li i i] ma współrzędne (—1.1.7).

b)    Aby obliczyć współrzędne punktu przecięcia prostej 1 i płaszczyzny —, wstawiamy przedstawienia parametryczne współrzędnych tej prostej do równania płaszczyzny. Wtedy mamy

(l+0 + (-30 + (4-t)-7 = 0,

•tąd 1 = -j Punkt wspólny prostej l i płaszczyzny jr ma zatem współrzędne , 2, yj .

c)    Aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia płaszczyzn rrj, >ra i "3, rozwiązujemy układ azeźciu równań z niewiadomymi parametrami r, 1, t, u, t», w. Mamy

(    r= l + t - u — 2 + v,

< —2r - * = -1 +1    = 3 - 2u>,

l 4r + 3» =    1+t    =»3 — u>.

Rozwiązaniem tego układu równań jest szóstka liczb r=l.« — — l.ł = 0,u = 0,u = — l.u» = 2. Punkt P przecięcia płaszczyzn m, n i ttj odpowiada np. wartościom parametrów t = 0, u = 0, zatem P => (1, —1,1').

Przykłady

• Przykład 5.17 Obliczyć odległość:

a) punktu P = (1,0, —5) od płaszczyzny rr : 3x — 12y + 4z + 8 = o-

b) płaszczyzn równoległych rr j : 2x — y + 3z = 0, «2 : —4z + 2y — g. ^ _

c) punktu P = (0,0,0) od prostej l: — — - = —p- =

Rozwiązanie

a)    W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na odległość d punktu P = (io,yo,Jn) od i

czyznyrr: Ax + By + Cz + D = 0;    ^plłffl-

j _ \Axq -i- Byo + Czę + D[

JA³ + B³ + ćfl

Odległość d punktu P = (1,0, —5) od płaszczyzny rr: 3z - 12y + 4z + 8 = 0 jest

|31-l2-0 + 4(-5) + 8|__9__9

_v/32 + (-12)³ + 4³    y/m    13?

b)    W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na odległość d płaszczyzn równoległych jt, : Ax + By + Cz + Di — 0, rrz : Az + By + Cz + Da = Oj

\Di-Di I

10-(-4)1    4

Przekształcamy równanie płaszczyzny irj tak, aby miała te same współczynniki co płaszczyzna >ri. Mamy X2 : 2x - y + 3z - 4 = 0. Odległość d płaszczyzn iri i jrj> jest zatem równa

_N/2^a +- <—l)³ +-3^a    VTT

czymy odległość punktów P i P . Ponieważ płaszczyzna rr ma wektor normalny n taki

c) Odległość d punktu P od prostej / wyznaczymy w następujący sposób: przez punkt P prowadzimy płaszczyznę rr prostopadłą do prostej I, następnie wyznaczamy punkt P przecięcia prostej l z płaszczyzną rr (będzie to rzut punktu P na prostą l) i wyzno-

sam jak wektor kierunkowy ił prostej I, więc fl = 0 = (2, -1, -2). Równanie płaszczyzny rr przechodzącej przez punkt P = (0,0,0) ma zatem postać rr: 2(z—0)—ł(y—0)—2(z-0) = 0, stąd otrzymamy rr: 2x — y - 2z = 0.