DSC07353

124

Geometria analityczna w przestrzeni

Przechodzimy teraz do równania parametrycznego plaazczyny ir. Płaszczyzna ta przechodzi przez punkt Pi = (1,1,1) i jest rozpięta na wektorach PiPj= (—2,—1,0), Pifi= (4,5,6), zatem

r: (z.y.z) = (1,1,1) + «(—2,—1,0) + t(4,S,6), gdzie a, te R,

stąd otrzymamy

gdzie a, t e R.

C x = 1 - 2s + 4t,

■: < v= 1 — a + 51,

l = =1 + 61,

c) Ponieważ płaszczyzna ir rozważana w zadaniu jest prostopadła do płaszczyzny zOy, więc jest równoległa do osi Os. Jest zatem równoległa np. do wektora v = (0,0,1).

Ponadto płaszczyzna ir jest równoległa do wektora P\Pi = (3, —1,0). Wektor normalny lej płaszczyzny wyraża się zatem wzorem

fi = flx Pi Pj =

i	3	k
0	0	1
3	-1	0

= * + 3j.

Równanie ogólne płaszczyzny jt ma postać

»: (x — 0, p — 1, z — 0) o (1,3,0) = 0,

ptqd

jr : x + 3y — 3 = 0.

Ponieważ płaszczyzna - przechodzi przez punkt Pi = (0,1,0) oraz jest równoległa do wektorów v = (0,0,1), PiPi= (3, —1,0), więc jej równanie parametryczne ma postać (x,p,z) = (0,l.0) + s(0,0,l) + t(3,-l,0), gdzie s.teR,

stad

f * = 31,

^: { fc.i

gdzie s.ieR.

d) Wektor normalny płaszczyzny ir rozważanej w zadaniu ma postać

fi = d x 6 = (-1,3,0) x (3,1, -5) =

* 3 * -13 0 3 l -5

= -15?-5?- 10*.

Dla uproszczenia dalszych obliczeń wektor normalny można skrócić np. do wektora d = (3,1,2). Równanie płaszczyzny ir ma postać

k : (x — 0, i/ — 1, z — 0) o (3,1,2) = 0,

ai%d

w: 3x + |/ + 2z — 1=0.

Ponieważ płaszczyzna w przechodzi przez punkt P = (0,1,0) i jest równoległa do wektorów 3 = (-1,3,0), t = (3,1, -6), więc jej równanie parametryczne przyjmuje postać

»r: (*.!/.*)=* (0.1,0)+ «(-!, 3,0)+ 1(3,1,-6), gdzie a,te R.

Przykłady

125

stęJ po rozpisaniu na współrzędne otrzymamy ( x — —a + 3t,

jt:< y = 1 + 3s +1, gdzie s, t € R.

I z = —51,

e) Ponieważ płaszczyzna - rozważana w zadaniu jest równoległa do płaszczyzny iri : i - y + 6z — 12 = 0, więc jej wektor normalny ń jest taki sam jak wektor normalny płaszczyzny jtj. Zatem n = (1, —1,6). Ponieważ płaszczyzna ir przechodzi przez puiikt P= (-1,4,1) i ma wektor normalny fi = (1, —1,6), więc jej równanie ogólne ma postać

ir : (i + 1,2/ — 4,z — 1)o(1,—1,6) =0,

stąd

jr: z — y + 6z —1 = 0.

Znajdziemy teraz dwa niewspółłiniowe wektory u, t>, które są równoległe do szukanej płaszczyzny ir. Ponieważ płaszczyzny iri i tt są równolegle, więc wektory fi, 5 muszą być prostopadłe do wektora normalnego płaszczyzny jti, tj. do wektora ni = (1,—1,6). Takimi wektorami są np. fi = (1,1,0) oraz 5 = (0,6,1). Rzeczywiście mamy fi o rlj = 0 oraz 5o ni =0. Ponieważ płaszczyzna 7r przechodzi przez punkt P = (— 1,4,1) oraz jest równoległa do wektorów fi i 3, więc jej równanie parametryczne (wektorowe) ma postać

tt : (x,y,z) = (—1,4,1) + a(l, 1,0) + t(0,6,1), gdzie a.teR,

stąd po rozpisaniu na współrzędne otrzymamy

f x = -l + s,

ir: < y = 4 + s + Cl, gdzie s,t 6 R.

Iz=l+l

f) Ponieważ szukana płaszczyzna ir ma być prostopadła do płaszczyzn ir_t : x+y+z- 5 = 0, "i: z — y + 2 = 0, więc jej wektor normalny fi powinien być prostopadły do wektora normalnego rli = (1,1,1) płaszczyzny iri oraz do wektora normalnego fij — (1, —1,0) płaszczyzny n. Wektor prostopadły do wektorów ni i fij ma postać

fi = fi| x fi₂ = (1,1,1) x (1, -1,0) =

i

1

1

j

1

-1

£

i

o

i + j — 2k.

Ponieważ płaszczyzna ir przechodzi przez punkt P = (2,3,-6) i ma wektor normalny ń = (1,1, —2), więc jej równanie ma postać

ir: (x — 2,y — 3,z + 6)o(1,1, —2) = 0,

stąd

ir : x +y — 2z — 17 = 0.

Znajdziemy teraz dwa niewspółłiniowe wektory 3 i u, które rozpinają szukaną płoszczy-znę rr. Wektory fi i 3 muszą być prostopadle do wektora normalnego fi = (1,1, -2) tej płaszczyzny. Takimi niewspólłiniowymi wektorami są np. fi = (1, -1,0) oraz 3 = (0,2,1). Rzeczywiście fi o fi = 0 oraz 0 o ri = 0. Ponieważ płaszczyzna ir przechodzi przez punkt P = (2,3,-6) i jest rozpięta przez wektory fi = (1, —1,0) oraz 3 = (0,2,1), więc jej równanie parametryczne (wektorowe) ma postać

ir: (x,y,z) = (2,3, —6)+a(l, —1,0) +1(0,2,1), gdzie s.leR,