DSC07359

136

Geometria analityczna w przestrzeni

Napiszemy teraz równania płaszczyzn *1 i irj. W tym celu wybieramy po jednym dowolnym punkcie na każdej z prostych. Na prostej U wybraliśmy punkt /li = (0,0,1), a na prostej li punkt .4j = (0,1.0). Równanie płaszczyzny w: ma zatem postać jtj : 0 • (z - 0) + 0 ■ (y — 0) — (i — 1) = 0, stąd xj : z = 1. Podobnie równanie płaszczyzny zj ma postać -j : 0 • (x — 0) + 0 • (y — 1) — (z — 0) = 0, stąd rj : z = 0. Odległość d płaszczyzn *i i zj, a zatem i odległość prostych /i i jest równa d = |1 — 0| = 1.

f) Zauważmy najpierw, że prosta l :    = y o wektorze kierunkowym

6 = (—1,2,1). jest równoległa do płaszczyzny z : x + y — z + 7 = 0 o wektorze normalnym n = (1.1,-1). Rzeczywiście, mamy bowiem

ii o 5 = (1,1, -1) o (-1,2,1) = 0.

Odległość prostej i od płaszczyzny z jest równa odległości dowolnego punktu prostej l od tej płaszczyzny. Wybieramy dowolny punkt P na prostej /. Przyjmując x = 0, otrzymamy y = -1 oraz z = 0. Stąd P = (0, -1,0). Korzystając teraz ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny otrzymamy

_j_P₊₍-₁)-_0+7|_ 6 _{= m}

v'l^a+l^ł + (-l)²    v/3

• Przykład 5.18

Obliczyć miarą kąta między:

a)    prostą £: —ir = vr- — y i płaszczyzną z : 2i - 3j/ — 5 == 0;

b)    płaszczyznami Zj: (z,p,z) = (1,6,7)+ a(—1,2,0) + £(1,1,1), gdzie -i ■ (*, V, 2) = (3,4,5) + s(0,1,-3)+ £(1,0, —2), gdzie a, t € R;

s,£ 6 R,

c)

prostymi \:

{

z + j/-l=0, y-² + 3 = o,

. _ f x — 2y + z = 0,

²‘ \ —x + 3y + 2z = 0.

Rozwiązanie

a) Miara kąta a między prostą l o wektorze kierunkowym t) i płaszczyzną tt o wektorze Dormalnym S jest określona wzorem

o

= aro cos

|3x 5|

W-W

Ponieważ prosta i ma wektor kierunkowy 5 = (-3, —2,1), a płaszczyzna w wektor normalny il = (2, —3,0), więc

H    1(2.—3,0) x (-3,-2,1)|

a = BICCOS . ■    ■ ■ »- - ----- — - -------L-    ■

ą/C-3)¹ + (-2)2 + 1^J • \Ć2^J + 3* + O³ |(-3,-2,-13)    ,    ,,

= arcoos ——a—=ar— = arccosl = Olrad.

y/ii-Vn    ¹    1

oznacza to, że prosta (jest równoległa do płaszczyzy ir.

b) W tym przykładzie wykorzystamy taki mówiący. że miara kąta między dwiema płaszczyznami jest równa mierze kąta między wektorami normalnymi tych płaazczyzn. Wyznaczymy teraz wektory normalne płaszczyzn *i i Płaszczyzna zrj jest rozpięta na

Przykłady

137

sektorach ui = (—1,2,0), Ci = (1,1,1), a płaszczyzna jtj na wektorach uj — (0,1, -3), gj = (l,0,-2). Wektory normalne «i i flz tych płaszczyzn mają odpowiednio postaci:

ni = ui x Ci = (-1,2,0) x (1,1,1) = (2,1, -3), n₂ = «₂ x C₂ = (0,1, -3) x (1,0, -2) = (-2, -3, -1).

Miara kąta a między wektorami normalnymi ni i (a zatem i między płaszczyznami ti i ?}) jest równa

|fii o n₂|

a = arccos -    ,

S, • n₂

|(2,1,-3) o (-2, -3, -1)|

y/7? + 1² + (—3)^a • ^/(—2)^a + (-3)* + (-1)*

= arccos % =s 1,28 [rad | sa 73,4°.

c) Kątem między dwiema prostymi nazywamy kąt między wektorami kierunkowymi tych prostych. Wektor kierunkowy Ci prostej h : < ^X    ma postać

I I/”tTO — 0

Ci = (1,1,0) x (0,1, -1) = (-1,1,1), a wektor kierunkowy S2 prostej 2 : s __x 3^ + 2z — 0 P⁰³*⁸*"

ih = (1,-2,1) x (-1,3,2) = (-7,-3,1).

Miara kąta o między wektorami Ci i C₂ (a zatem i miara kąta między prostymi l\ i li) jest równa

arccos

arccos

a

[Ci ° Cal l»i| •|Ca|

|(-1,1,1) o (-7,-3,1)|

V(-l)³ + l^a + l^a • y/(-7)⁷ + (—3)^a + l^a

1,19 [rad| as 67,9°.

• Przykład 5.19 Znaleźć rzut prostokątny:

a)    punktu P = (1,0, —3) na prostą l : ~ = -— ji =

b)    punktu P = (0,0,1) na płaszczyznę ir: x + y — 2a + 4 = 0;

c)    prostej l: x = y = z na płaszczyznę 7r: x + 2y + 3z — 6 — 0.

Rozwiązanie

a) I sposób. Punkt P e 1 jest rzutem prostokątnym punktu P na prostą /, jeżeli spełniony jest warunek

P'P± C,

gdzie 9 oznacza wektor kierunkowy prostej l.