DSC07354

126

stąd otrzymamy

Geometria analityczna w przestrzeni

r x = 2+s,

r:< y = 3 — i + 21, gdzie «,(g R. [ z = —6 + t.

g*) Niech ńi i rij oznaczają wektory normalne odpowiednio płaszczyzn i xj. Zatem rii = (1. -1.1) oraz ń₃ = (5,1. —1). Ponieważ płaszczyzna dwusieczna kąta dwuściennego utworzonego przez płaszczyzny ri i ~2 (oznaczona na rysunku przez —tworzy jednakowe kąty dwuścienne z płaszczyznami ri i —₃, więc wektor normalny ri rej płaszczyzny jest dwusieczną kąta utworzonego przez wektory normalne nj i dj. Wektor v, który leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wersory di, oj oraz tworzy z nimi jednakowe kąty ma postać o = di + 3j. Zatem wektor normalny ri pł»m ąmy r wyraża się wzorem

A =

Bi , ńj |ftl| i«2l

(l.-l.l)    ,    (5.1,-1)_

y/l³ + (-1)^J + 1*    V⁵³ + i⁵ + (-!)*

■La- “ >-^I-^{1) +} 5^⁽⁵’^l--¹⁾ = i^^(S’^²⁾-

Dla uproszczenia dalszych obliczeń skracamy wektor normalny np. do postaci fi = (4. —1,1). Znajdziemy teraz punkt należący do płaszczyzn —i i —o. Przyjmując np. y = 0, otrzymamy układ równań

f * + r=0.

\ 5x — z— -24.

Rozwiązaniem tego układu równań jest para z = —4, z = 4. Zatem P = (—4,0,4) jest punktem wspólnym płaszczyzn -j i x₃. Ponieważ płaszczyzna dwusieczna przechodzi przez punkt P i ma wektor normalny n, zatem jej równanie ogólne ma postać

x : (x + 4,y — 0,z — 4) o (4,-1, X) = 0,

*44

x:4x — y + z— 12 = 0.

Uwaga. Istnieje jeszcze druga płaszczyzna dwusieczna kąta dwużciennego utworzonego przez płaszczyzny tri i x₃. Wektor normalny tej płaszczyzny wyraża się wzorem:

=(-2,-2,2).

nt V* ¹ L,

|«»| T*£I ay/śM

Równanie drugiej płaszczyzny dwusiecznej ma zatem postać

tr': (x + 4,p — 0,z — 4)o(1,1,-1) = 0,

*44

x : z + V * + 8 = 0.

Znalezienie równań parametrycznych płaszczyzn x i - zostawiamy Czytelnikowi.

Przykłady

127

Równania prostej

• Przykład 5.14

Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostych spełniających podane warunki:

a)    prosta przechodzi przez punkt P = (1,0,2) i jest równoległa do wektora v = (0,5, -3);

b)    prosta przechodzi przez punkty P\ = (—1,1,0), P2 = (0,3, —2);

c)    prosta przechodzi przez punkt P = (1, —5,3) i jest prostopadła do płaszczyzny sr:x-3z + 7 = 0;

d)    prosta przechodzi przez punkt P = (0,0, —2) i jest prostopadła do wektorów 3 = {0,1,-5) i 6 = (-2,3,0);

e)    prosta jest dwusieczną kąta utworzonego przez przecinające się proste

{I x = —t,    | x = -2.-1- 3,

I y = 2i, gdzie t G R, h '■ \ V = 4 — 3s, gdzie s 6 R;

| z = 31,    | z = 6 + 2s,

f) prosta jest częścią wspólną płaszczyzny tti : x + 2: — 4 = 0 i płaszczyzny ffj: igif+6 = 0.

Rozwiązanie

Równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt Pa = (10,1/0.-o) o wektorze wodzącym fo, równoległej do niezerowego wektora 3 = (a,b,c) ma postać

Z: P = ro -I- tS, gdzie t€R,

gdzie r = (x, y, z) jest promieniem wodzącym punktu tej prostej. Po rozpisaniu na współrzędne powyższe równanie przyjmuje postać

fi x = xo +at,

l : < y = yo + bt, gdzie 16 R.

\ i = zo + ct .

Inną formą zapisu tego równania jest tzw. równanie kierunkowe prostej. Równanie to ma postać

x — xg _ y — ya _ - ~ Jo a    b    c

a) Równanie parametryczne (wektorowe) prostej l przechodzącej przez punkt P1 = (1,0, 2) i równoległej do wektora 3 = (0,5, —3) ma postać

Z: [x,y,z) = (1,0,2) -M(0,5,—3), gdzie t€R.

Po rozpisaniu lej równości na współrzędne otrzymamy