DSC07363

144

Geometria analityczna w przestrzeni

• Przykład 5.22

Obliczyć objętości i pola powierzchni brył ograniczonych podanymi płaszczyznami:

a)    i = 0, y = 2, z = —1, x + y + z = 6;

b)    i = 1, i = 2, x-y = 0, x-y = 3, y + z = 0, j/ + z = 4.

Rozwiązanie

a) Bryla rozważana w zadaniu jest czworościanem, który ma trzy porami prostopadłe płaszczyzny. Wyznaczymy najpierw wierzchołki A, B, C, D tego czworościanu. Współrzędne tych wierzchołków spełniają odpowiednio układy równań

f z = 0,    ( z = 0,    f z = 0,    ( V = 2,

{ _f = 2,    { ,=2.    { z = -l,    <    „

l :=-l.    I * + p + Z = 8,    ll + j + t = 6, l * + lf + * = 8.

Po rozwiązaniu tych układów otrzymamy A — (0,2,—1), B = (0,2,4), C — (0,7,—1) oraz O = (5,2, -1). Ponieważ czworościan ABCD jest rozpięty na wektorach

AB= (0,0,5), AC= (0,5,0), AD= (5,0,0), więc jego objętość V można obliczyć wykorzystując iloczyn mieszany wektorów. Mamy

0 0 5 0 5 0 5 0 0

m = J|(>lB.>łC,AD)| = I|det

Do obEczema powierzchni całkowitej S czworościanu ABCD wykorzystamy iloczyn wektorowy. Mamy DB= (-5,0,5) oraz DC= (-5,5,0). Zatem S — StiABC + Sc_ABD + S&ĄCD + 5&OSC

= \ (\*B *7c\+\Jb x.w\ + \Jc y.Ad\ + \1m *DC\

i j k 0 0 5 0 5 0

I + l

ii k 00 5 5 0 0

l + l

0 5 0 5 0 0

l + l

Ś j k -5 0 5 -5 5 0

= 1 (I - 25t| + |25j| -r I - 25fc| + I - 25t - 25j - 25fc|) = 1 (75 + 25v/3).

b) Bryła rozważana w zadaniu jest równolcgłościancm ABCDA' B'Ć D'. Do obliczenia objętłtoci i poła powierzchni całkowitej tego równoległościanu wystarczy znajomość punktów A, B, Di A . Współrzędne tych punktów spełniają odpowiednio układy równań

{

z = 1, z — y = 0, y + z = 0,

x = 1, z - y = 3, »ł: = 0,

z = 1,

z -1/ = 0.

y + z = 4,

z = 2, x - y — 0, V + i = 0.

Po rozwiązaniu tych układów otrzymamy

/*=(!,1,-lj, /? = (!. -2,2), £> = (1,1,8). /ł* = (2,2,-2).

Przykłady

145

Ponieważ rozważany równoległościan jest rozpięty na wektorach

AB= (0,-3,3), AD= (0,0,4), A4=(l,l,-l), więc jego objętość można obliczyć ze wzoru

0-3    3

1=12.

0    0    4

1    l -'li

Pole powierzchni całkowitej S wyraża się wzorem

5 = 2 (Soabco + S_OAB_B'_A' + ^so _AA'd'd)

⁼ 2 ^ | -43 x AD | + | AB x AA’ | + | AA’ :< AD | j

= 2

i j k 0-3 3 0 0 4

+ 1

i j k 0-3 3 1 1 -1

i i k 1 1 -1 0 0 4

= 2 (| - 12?| + |3j + 3k| + |4t - 4y|) = 2 (12 + 3v^+ 4s/5) = 24 + 14v/5.

•Przykład 5.23

Obliczyć pole trójkąta utworzonego przez parami przecinające się proste:

lx - = y. = l l ■ ^z~³ _ y~3 _ - ~³    x-3 _y _ £+3

T I I’    ² ' 0    -3    -6 ’    ^3: 3    0    -3

Rozwiązanie

Znajdziemy najpierw punkty przecięcia tych prostych. Niech A będzie punktem przecięcia prostych /i i li, B punktem przecięcia prostych l\ i li oraz C punktem przecięcia prostych lj i li- Współrzędne punktów A, B, C spełniają odpowiednio układy równań:

	f i — 3 y _ s+3
1 1 l ’	/ 3 "O _3 ’
i — 3 _y — 3 _ s —3	| x — 3 _ ir-3 _ z_-
0 -3 ~ -fl '	l 0 fi -3 “ -i

m z = « = *.,

i 1 1 i'

l 3    “ 0 “ -3 '

Rozwiązaniami tych układów są odpowiednio trójki liczb:

( * = 0. r 1 = 3,    f * = 3,

<y = 0,    < y = 3, <p = 0,

II * = o, :vl *= 3,    (j I = -3.

Zatem A = (0,0.0), B = (3,3,3), C = (3,0,-3). Pole S trójkąta ABC można obliczyć ze wzoru

5 =='|| AB x ~AC | = ^ |(3,3,3) x (3,0,-3)|

i j k 3 3 3 3 0-3

= §113 3 3

| = i|-9?+18jf-9«| = |A