DSC07361

140

Geometria analityczna w przestrzeni

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb * = 1, y = 1, z = 1. Zatem A = (1. li 1} — A . Wybieramy teraz dowolny punkt B = (jr ,y , z ) yt A na prostej l. Przyjmując np. x' = 0, otrzymamy y = 0 oraz z = 0. Postępując podobnie jak w punkcie b) tego przykładu znajdziemy rzut prostokątny B =    ^ punktu B na płaszczyznę z.

Teraz znajdziemy równanie prostej / przechodzącej przez punkty A I B . Mamy

4

x=l + -t,

( : ■ y = 1 + it,    gdzie t e R.

Przyjmując t = 7s otrzymamy uproszczoną postać tego równania

gdzie a 6 R.

C * = l+4a,

/ : < y = 1 + a,

[ z— l-2a_t

• Przykład 5.20

Znaleźć punkt symetryczny do punktu P = (0,1,3) względem:

a)    punktu S = (1,0,-1);

,.    . . , *+l y z — 5

b)    prostej ł: _ = . =

c)    płaszczyzny tr: * + y + z = 0.

Rozwiązanie

a) Punkt P jest symetryczny do punktu P względem punktu S, jeżeli spełnia warunek

SP = - SP .

^{Niecfa p} = (*.».»)• Wtedy SP = (z - l.y.z + 1) oraz 5P= (-1,1,4). Z warunku ^SP - - SP wynika, że współrzędne punktu P' spełniają układ równań

{

z-l = l,

V = -i,

z + 1 = -4.

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb z

(2, -1,-8).

= 2, y = -1, z =

—5. Zatem P =

b) Punkt P jest symetryczny do punktu P względem prostej /, jeżeli spełnia warunek

- SP, gdzie S oznacza rzut prostokątny punktu P na prostą ł. Znajdziemy teraz rzut prostokątny S punktu P = (0,1,3) na prostą

1 • ^x 4~ 1 ₌ J/ _ z — 5 ^:    -2 " 1 "    3 '

Przykłady

141

| sposób wyznaczania S. Niech S = (z, y, z). Ponieważ punkt należy do prostej /, więc spełnia jej równania. Ponadto wektor SP jest prostopadły do wektora kierunkowego 5 tej prostej, więc spełnia warunek SP o ii = 0.

1

2’

Mamy 8 = (-2,1,3) oraz SP= (— _x, 1 — y.3 —s). Współrzędne punktu S spełniają układ równań | g+ł _ | _ g-5 -2 I 3 i l| (-*. 1 - y. 3 — z) o (-2,1,3) = 0.

Układ ten jest równoważny układowi

Bj*|r + 2y = -l,

\ 3y - z = -5, l 2x — y — 3z = -10.

I, zatem 5=    0.

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb x = 0, y = —

II sposób wyznaczania S. Równanie parametryczne tej prostej ma postać l : x = -1 -2l,y = t,z = 5 + 3t, t 6 R. Punkt S jest punktem przecięcia prostej l z płaszczyzną - prostopadłą do l i przechodzącą przez punkt P. Równanie płaszczyzny tt jest postaci TT: — 2x+y+3z —10 = 0. Współrzędne (—1— 2t, t,5+3t) punktu 5 wyznaczymy z zależności —2(—1 — 21) +i + 3(5 + 3t) — 10 = 0. Stąd 14£ + 7 = 0. Zatem t = -i, więc

S = (o,. Znajdziemy teraz punkt P'. Niech P' — [x',y',z^. Wtedy

ffifc.- •^sp 3 "°^^,+5-Ir i) ^ora-' ^5P=(°’I4)-

Współrzędne punktu P znajdujemy z układu równań

./ x =    0,

I    3

HEBi

< _ 7 _    1

K* 2 ~^ 2'\

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb x = 0, y = —2, z = 4. Zatem P' = (0.-2.4).

c) Punkt P jest symetryczny do punktu P względem płaszczyzny ir, jeżeli spełnia warunek SP = — SP, gdzie S oznacza rzut prostokątny punktu P na płaszczyznę ir. Znajdziemy teraz rzut prostokątny S punktu P = (0,1,3) na płaszczyznę

V i x + y +1 = 0.

I sposób wyznaczania S. Niech S = (x,y,z). Ponieważ punkt S należy do płaszczyzny rr, więc spełnia jej równanie. Ponadto wektor SP jest prostopadły do tej płaszczyzny, więc jest równoległy do wektora normalnego n płaszczyzny ir, czyli spełnia warunek SP= kii