Ebook9

148

Uozil Hitu nadmuch catKowy

Rozwiązaniem tego układu jest A = ^, B = Zatem

£⁴ 4- 1    (x² 4- \[2x + l)(x² — V2x + 1)

PRZYKŁAD 10. Obliczyć całkę f ^łz^łf^dx.

ROZWIĄZANIE.

Niech W{x) = x³ —x² —2x. Rozkładamy ten wielomian na czynniki i mamy W(x) = x(x² — x — 2) = x(x 4- l)(x — 2).

Korzystając z punktu 2 bl), uzyskujemy

2x² + x — 4 A £? C

x(x 4- l)(x — 2) a: x 4-1 x —2

:-rr:-—r = — + -7 -f -

Mnożąc obydwie strony równania przez x(x 4- l)(x — 2), otrzymujemy

2x² + x — 4 = A(x 4- l)(x — 2) 4- Bx(x — 2) 4- Cx(x 4- 1).

Podstawiamy kolejno x = 0,x = — l,x = 2 do obydwóch stron równania. Dla x = 0 marny — 4 = — 2A, a stąd A— 2.

Dla x = — 1 mamy —3 = 3B, a stąd B — —1.

Dla x = 2 mamy 6 = 6C. a stąd C = 1.

Korzystając z rozkładu funkcji na ułamki proste i wzoru (5.5), otrzymujemy

2 ln |x| — ln |x 4- 1| 4- ln |x — 2| 4- C.

PRZYKŁAD 11. Obliczyć całki:

^a) f ^jdx,

ROZWIĄZANIE.

a) Niech W(x) = x⁵ 4- 2, G(x) ='x³ — 1. Po podzieleniu wielomianu W(;/:) przez wielomian G(x) otrzymujemy

x⁵ + 2 o x² 4- 2

x^ — 1    X^A - 1

Rozkładamy wielomian G{x) na czynniki. Korzystając ze wzoru a³ — 6³ = (a — 6)(a² 4- ab + 6²),

otrzymujemy x³ — 1 = (x — l)(x² + x + 1). Następnie rozkładamy luuD |i

(i-Ool&c-H) na ułamki proste. Mamy

x² 4- 2    A Bx 4- C

(x - l)(x² 4- x 4- 1)    x — 1    x² 4- x 4- 1

Mnożymy obydwie strony równania przez (x — l)(x² 4- x 4-1) i uzyskujemy równanie

x² 4- 2 = 4(x² 4- x 4- 1) 4- (Bx 4- C)(x - 1).    (5.11)

Dla x = 1 mamy 3 = 3^4, a stąd A = 1. Po wstawieniu A = 1 do równania (5.11) otrzymujemy

x² 4" 2 = (1 4" B)x² + (l — B + C)x 4-1 — C.

Współczynniki B i C spełniają układ równań

(    1 + B =    1

< l-B+C = 0 (    1-C    =    2.

Stąd po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy B = 0 i C = -1. Zatem

x² + 2    _ _1___1

(x - l)(x² 4-x 4- 1) x —1 x² 4- x 4 1

Ostatecznie

/ i^i^{dx =} J{^x* ⁺

x — 1 x² 4 x 4-1

dx.