Matematyka 2 3

62 I Geometria analityczna w przestrzeni

STOŻEK ELIPTYCZNY. Powierzchnię o równaniu

(5.10)

nazywamy stożkiem eliptycznym (stożkiem asymptotycznym lub krotko: stożkiem).

Jest to powierzchnia symetryczna względem wszystkich płaszcz) zn. osi i początku układu współrzędnych 0xyz, przecina osie układu jedynie w punkcie (0,0.0) zwanym w ierzchołkiem tego stożka. Przekrój tej powierzchni płaszczyzną x-k lub y = k. gdy k * 0, jest h i p e r -bolą,a dla k = 0 - dwiema prostymi, zaś przekrój płaszczyzną z= k, gdy k* 0 jest c 1 i p są. a dla k - 0 jest punktem (0.0.0). Stożek eliptyczny o równaniu (5.10) przedstawia rysunek 5.13.

W szczególności, gd> a = b. stożek nazywamy obrotowym.

Rys 5.13.

Rys 5.14.

Rysunek 5.14 przedstawia hipcrboloidę jedno-, dwupowłokową i stożek eliptyczny o równaniach (5.8) - (5.10). Rysunek ten wyjaśnia dlaczego stożek eliptyczny nazywa się również stożkiem asymptotycznym.

Na koniec tego skrótowego przeglądu powierzchni stopnia drugiego odnotujmy, że wśród wymienionych powierzchni są powierzchnie:

I) obrotowe tzn. takie, które powstają przez obrót krzywej dookoła pewnej prostej.

2) prostokreślne tzn. takie, że przez każdy punkt powierzchni można poprowadzić prostą zawartą w tej powierzchni.

Powierzchniami obrotowymi są: walec obrotowy, stera, elipsoida (5.5) dla a = b luh a = c lub b = c oraz paraboloida eliptyczna (5.6), hiperboloidy (5.8) i (5.9) i stożek eliptyczny (5.10) dla a = b.

Powierzchniami prostokreślnymi są: oczywiście wszystkie powierzchnie walcowe, stożek eliptyczny oraz hiperboloida jednopowło-kowa i paraboloida hipcrboliczna.

PRZYKŁAD 5.4. a) Równanie z. = I + x^: + y jest równaniem paraboloidy obrotowej (rys 5 15) o wierzchołku (0,0,1).

b) Równanie x = ^'z - y przedstawia pewną powierzchnię. Dla x > 0 mamy

x = ^z-y² c=> x² = z-y² co z = x²+y².

To ostatnie równanie określa paraboloidę obrotową, zatem równanie \ = ^7-y^z określa tę część paraboloidy z= x^: • y^:. która jest zawarta w półprzestrzeni x > 0 (rys 5.16).    ■

z

Rys 5.16.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

Określić, które z powierzchni o niżej podanych równaniach są symetryczne względem płaszczyzn, osi lub początku układu współrzędnych 0xyz:

a) x²-y² - xz = 0,    b)y = z²,    c) x²-3y²-z² =6,

d) x² + y^: -3z = 0,    e) xyz = 3,    Dx³ + y-z = 6.