Matematyka 2 3

Matematyka 2 3



62 I Geometria analityczna w przestrzeni

STOŻEK ELIPTYCZNY. Powierzchnię o równaniu


(5.10)

nazywamy stożkiem eliptycznym (stożkiem asymptotycznym lub krotko: stożkiem).

Jest to powierzchnia symetryczna względem wszystkich płaszcz) zn. osi i początku układu współrzędnych 0xyz, przecina osie układu jedynie w punkcie (0,0.0) zwanym w ierzchołkiem tego stożka. Przekrój tej powierzchni płaszczyzną x-k lub y = k. gdy k * 0, jest h i p e r -bolą,a dla k = 0 - dwiema prostymi, zaś przekrój płaszczyzną z= k, gdy k* 0 jest c 1 i p są. a dla k - 0 jest punktem (0.0.0). Stożek eliptyczny o równaniu (5.10) przedstawia rysunek 5.13.

W szczególności, gd> a = b. stożek nazywamy obrotowym.

Rys 5.13.


Rys 5.14.

Rysunek 5.14 przedstawia hipcrboloidę jedno-, dwupowłokową i stożek eliptyczny o równaniach (5.8) - (5.10). Rysunek ten wyjaśnia dlaczego stożek eliptyczny nazywa się również stożkiem asymptotycznym.

Na koniec tego skrótowego przeglądu powierzchni stopnia drugiego odnotujmy, że wśród wymienionych powierzchni są powierzchnie:

I) obrotowe tzn. takie, które powstają przez obrót krzywej dookoła pewnej prostej.

2) prostokreślne tzn. takie, że przez każdy punkt powierzchni można poprowadzić prostą zawartą w tej powierzchni.

Powierzchniami obrotowymi są: walec obrotowy, stera, elipsoida (5.5) dla a = b luh a = c lub b = c oraz paraboloida eliptyczna (5.6), hiperboloidy (5.8) i (5.9) i stożek eliptyczny (5.10) dla a = b.

Powierzchniami prostokreślnymi są: oczywiście wszystkie powierzchnie walcowe, stożek eliptyczny oraz hiperboloida jednopowło-kowa i paraboloida hipcrboliczna.

PRZYKŁAD 5.4. a) Równanie z. = I + x: + y jest równaniem paraboloidy obrotowej (rys 5 15) o wierzchołku (0,0,1).

b) Równanie x = ^'z - y przedstawia pewną powierzchnię. Dla x > 0 mamy


x = ^z-y2 c=> x2 = z-y2 co z = x2+y2.

To ostatnie równanie określa paraboloidę obrotową, zatem równanie \ = ^7-yz określa tę część paraboloidy z= x: • y:. która jest zawarta w półprzestrzeni x > 0 (rys 5.16).    ■


z

Rys 5.16.


ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

Określić, które z powierzchni o niżej podanych równaniach są symetryczne względem płaszczyzn, osi lub początku układu współrzędnych 0xyz:

a) x2-y2 - xz = 0,    b)y = z2,    c) x2-3y2-z2 =6,

d) x2 + y: -3z = 0,    e) xyz = 3,    Dx3 + y-z = 6.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka 2 3 22 I Geometria analityczna u- przestrzeni czyli n: 3y-2z = 0. Usposób. Z warunków z
Matematyka 2 3 42 I Geometrio anality czna u przestrzeni Z warunków zadania mamy: :r
Matematyka 2 5 14 I Geometria analityczna u przestrzeni Z definicji iloczynu mieszanego wynikają n
Matematyka 2 1 20 I Geometria analityczna n przestrzeni llwapa Równanie płaszczony TT w tym przykł
Matematyka 2 1 40 I Geometria analityczna w przestrzeni4. PROSTA 1 PŁASZCZYZNA. Wzajemne położenie
Matematyka 2 9 48 I Geometria analitycznii w przestrzeni P Rys 4.7. Znajdujcrm współrzędne x, y, z
Matematyka 2 1 50 I Geometria analityczna m przestrzeni 11. Znaleźć rzut prostokątny prostej / na
Matematyka 2 3 52 I Geometria analityyzna w pmwtrztm c) równanie (x-l)7+y; -(z-3)J rii równoważne
Matematyka 2 9 58 I. Geometria analityczna w przestrzeni W szczególności, gdy x0 - y0 = 7.0 -• 0 o
Matematyka 2 5 64 1 Geometria analityczna u przestrzeni 2.    Wyznaczyć zbiór punkt
DSC07353 124 Geometria analityczna w przestrzeni Przechodzimy teraz do równania parametrycznego plaa
Matematyka 2 5 54 I (ieiimćtrig analityczna w przestrzeni Niech kierownica K powierzchni walcowej
Matematyka 2 1 60 I Geometria aruiUnyznu » przestrzeni Jest to powierzchnia symetryczna względem p
matematyka 12 20101 122 Geometria analityczna w przestrzeni Iloczyn mieszany a) «= (-1,2,5), v = (
46805 matematyka 12 20101 122 Geometria analityczna w przestrzeni Iloczyn mieszany a) «= (-1,2,5),
matematyka 12 20101 122 Geometria analityczna w przestrzeni Iloczyn mieszany a) «= (-1,2,5), v = (
Matematyka 2 1 10 1 Geometrio analityczna u przestrzeni S = ja
Matematyka 2 5 24 I Geometria analityczna »v przestrzeni n±n, o [A.B.C] 1 [2,-3,1), nln2 [A,B,C]_L
Matematyka 2 3 32 I. Gw mętna analityczna w przestrzeni Otrzymany układ trzech równań równoważny j

więcej podobnych podstron