Matematyka 2
1

10

1 Geometrio analityczna u przestrzeni

S = ja|-b|smę>=la> b|.

Z definicji iloczynu sektorowego wynikają następujące jego własności:

(1) a x b — —(b x a’)    amypr/cmienmiść.

(2)    ax(b + Ć) = axb + axc ro/dridność względem dodawania.

(3)    a(a x b) =(cia)x b = a x (ub). dla aeR.

(4) ixj = k,    j x k = i _%    kxi = j,

i x i = Ó.    j x j = Ó,    k x k - Ó.

Dla przykładu wykażemy, że i x j = k Iloczyn wektorowy i x j jest wektorem prostopadłym do wersora i oraz wersora j . czyli ma kierunek osi Oz, ma zwrot osi Oz i długość równą |i|-| jjsinn/2 = I Zatem iloczyn i x j jest równy wersorowi osi Oz, czyli jest wektorem k.

TWIERDZENIE 1.3 (podstawowe o iloczynie wektorowym)

Jeżeli

a ⁼ K.a_y.a_zJ, b^b^by.b, J, to iloczyn wektorowy a x b wyraża się wzorem

k.

(1.2)    axb co można również zapisać w- postaci

(1.3)    axb

i -

a. a

b* b,

^b» ^b-

i j k a a a

^b, ^h, ^b2

Dowód. Wektory a, b zapisujemy w postaci a =a_ti+a_yj + a_zk, b = b_ti-ł-bj + b_rk.

Następnie korzystając z własności iloczynu wektorowego otrzymujemy: a x b = (a_fi Taj +a,k)x(b_ai +h_vj + b_tk) = {wł«sn.(2)l(3)|-= a,b.(i x i)+a_łb_y(i x j)+a_xb_z(Tx k)+

-a_yb_x(jx i)+a₎b_>(jx j)-ha_>b_ł(jxk) +

+a,b„(kx i ) + a,b_y(kx j)+a,b,(kxk) = {własn (4)}=

(I)

TW1F.RDZHN1E 1.4. Niech a*Ó, b*5 oraz a=[a,,a_y.aj, b-[b_łtby,b,]. Wówczas

ii || bo

a.	^a>		^a.	^a*		^a> ^a»
b,	^br		b»	b,		^b, ^b.

= 0,

= ^axb>k - a.b j - a_yb jć + a_yb_zI + a,b J - a_zb_yT =

= (a>b_z -a,b, )i - (a₄b, -a_rbjj + (a.b, - a_yb, )k =

a a	-	^a» ^a«	-	a, ay
^b> ^b<	i -	b, b,	j +	^b. ^b>

(D a||bo^ = ^=^, przy założeniu, że b^by.b^O,

Dy D_x

(2) sin^a.b)

a- _ ^a, _ *.

Dowód Ponieważ wektory a i b sąniczcrowe. więc a||b o axb = Ó

Stąd i z twierdzenia 1.3 otrzymujemy warunek

a || bo

o

^a> ^a<

^b, ^b.

^ay =>*

b> b,

a,    a

b.    b

0 A

J ^ł

^ax ^a<

b, b₂

^a*

b. b

= 0 A

k = 0o

^a* ^a>

K by

0.