Matematyka 2 3

42 I Geometrio anality czna u przestrzeni

Z warunków zadania mamy: :r||/ i nin,. Ponieważ

n||/ o [A.B.C]i.[l,-U/2J. nln, o [A.B,C] 1[2.4,-1],

więc możemy przyjąć

[A. B,C|    1/21 x [2,4_t—l]«- [—1.2,6].

Zatem

n: -(x+l)-f2y + 6<?-3) = 0, n: x-2y-6z+ 19 = 0.

II sposób.

P(-1,0,3)en ■=> n A(x+l)+Ry+C(/-3)=0. n||/ o    A l+Bl-I)+C-l/2 = 0,

7tX tt,    A-2-f B-4+C(-l)=0.

Jest to układ równań jednorodnych z niewiadomymi A, B, C, przy czym wiadomo, że układ ten ma rozwiązania niezerowe. gdyż [A.B.C] jest wektorem niezerowym. Zatem z twierdzenia Cramera wynika, że wyznacznik główny tego układu rów nań jest równy zeru:

x +1 y z - 3 1 -1 1/2 =0. 2    4-1

Stąd otrzymujemy równanie płaszczyzny n

n: x 2v Gz-t-19 = 0.

P R Z Y K ł AD 4.3. Wyznaczymy równanie płaszczyzny n zawierającej proste równoległe (rys4.2)

n

Rys 4.2.

Ponieważ P(0.3,-l) e /.. więc P en. a zatem

7t: Ax4 B(y 3) + C(z+l) = 0.

Niech Q będzie dowolnie ustalonym punkiem należącym do prostej l_{ np. Q< -3.2.0) Wówczas wektor ń = |A,B,Cl spełnia warunki ń J PQ i ń _l / .. Ponieważ

nlPQ o ii±[-3-l,IJ, n L/_: o- ń l[4.-2,l], wice możemy przyjąć

ri = l A. B.C1 = 1-3 -l.l | x 14.-2.11 = 11,7.10].

W konsekwencji otrzymujemy

it: x f 7(y-3) + 10(z+ l) = 0.

czyli ir: x + 7y +107.-11 = 0.    ■

PRZYKŁAD 4.4. Znajdziemy punkt przecięcia prostej / z płaszczyzną n. gdy

/:^ = y = 3z. it: x t- 2y+ z+12 = 0

Punkt wspólny prostej i płaszczyzny znajdujemy rozwiązując układ rów nań

x -1

—=y=3z. x + 2y -r z+ 12 = 0

lub równoważny mu układ równań

x = 1 + 2l, y = t. z=l/3.

x + 2y + z + l2 = 0.

2 tego ostatniego układu otrzymujemy

l+2t4-2t + t/34 12 = 0,

czyli t—3, a stąd współrzędne punktu przecięcia prostej z płaszczyzną:

x = 1 + 2-(-3)=-5. y=-3.

z=(-3)l/3 = -l.

1’unkt !>(-5,-3,-l) jest więc punktem przecięcia prostej / z płaszczyzną 7T.    ■