Matematyka 2 5

24 I Geometria analityczna »v przestrzeni

n±n, o [A.B.C] 1 [2,-3,1), nln₂ [A,B,C]_L [l,-l_t-3], więc możemy przyjąć

f A,B.C] = f2,-3,l] x 11,—1,-3]=f 10,7,1]. Zatem płaszczyzna jt ma równanie

tt: IO(x-l) + 7(y-2) + l(7-3) = 0,

czyli

n: I0x + 7y + z-27 = 0.

II sposób.

P(1,23)en o icA(x-l)tB(y-2)+C(z-3)=0, nljti o A-2+B(-3)+C 1 = 0. n±n₂ » A-l + B (-l)+C-(-3)=0.

Jest to układ równań liniowych jednorodnych z niewiadomymi A, R, C'. 7 założenia, że w^rektor [A.B.C] jest wektorem niczcrowym wynika, żc układ ten ma rozwiązanie niezerowe. Zatem, zgodnie z twierdzeniem Cramcra. wyznacznik główny tego układu jest równy zeru:

x — I y-2 z-3 2    -3    1-0.

I -1    -3

Jest to równanie szukanej płaszczyzny. Po obliczeniu wyznacznika i uporządkowaniu otrzymujemy:

tt: I0x + 7y + z-27 = 0

PRZYKŁAD 2.6. Napiszemy równanie płaszczyzny n przechodzącej przez punkty' P( 1.0.4) i Q(4.3,-2) oraz prostopadłej do płaszczyzny jt,: 2x- y- 3z+7 = 0.

I sposób. Punkt P( 1.0.4) należy do płaszczyzny n. zatem Jt: A(x-l) + B(y-0) + C(z-4) = 0.

Z warunków zadania wynika, że (A. B.C]_L PQ i jr_L jt, . Ponieważ

[A.B.C] J Pcf <=> [A,B,C] 1 [33.-6], ttlTt, o [A.B.C]±[2,-l.-3], więc możemy przyjąć, że

[A.B.C] = [3,3,-6] x [2,-1,-3] = [-15.-3,-9]. Płaszczyzna n ma więc równanie

n: — I5(x - I) - 3y -9(z.-4) = O,

czyli

n: 5x + y + 3z-17 = 0.

II sposób. 7 warunków zadania mamy

P{ 1,0.4) r_n o TT. A(x-l)+B(y-0)-hC(z-4)=0 Q( 4,3,-2)e^ cv 3A    4 3B    -6C    =0

Jt±n,    2 A    -B    -3C    =0

Stąd. analogicznie jak w przy kładzie 2.5, otrzymujemy

= 0,

x - 1 y z - 4 3    3 -ó

2    -I -3

czyli 5x ♦ y f 3z -17 = 0 Jest to równanie szukanej płaszczyzny *    ■

ODLEGŁOŚĆ PUNKTU OD PŁASZCZYZNY Niech płaszczyzna rr ma równanie

it: Ax + By + Cz.+ D = 0.

Wykazuje się. >.c odległość d punktu (x_o,y_o,z₀) od płaszczyzny rc wyraża się wzorem

j — I A^x» ~t~ fyu * ^^zo Pi yjA^: + 13^: ł-C^:

test In wzór analogiczny do wzoru

₁ _ iAx,j + By_B •+ Cl

V a² *n^:

na odległość punkiu lx„.y„» ud prostej Ax - B> + O 0 rui płaszczyźnie 0.\>

Dla przykładu odległość punktu (2.I.3) od płaszczyzny 2x-y-2z-3=0 jest równa

_d_ 12-2-M-23-31

V2²+(-l)^: + (-2)³

W len sam sposób otrzymujemy,że odległość punktu (2,-3.2) i>d tej płaszczyzny jest równa zeru, co oznacza, ze punkt (2.-3,2) należy do płaszczy zny n.