Matematyka 2 5

54 I (ieiimćtrig analityczna w przestrzeni

Niech kierownica K powierzchni walcowej W będzie krzywą płaską zawartą w płaszczyźnie Oxy i niech w układzie współrzędnych Oxy kierownica K ma równanie F(x,y)=0, czyli

K. = |(x,y) 6 R^:: F(x.y) = 0).

Kierownica K w układzie współrzędnych Oxvz opisana jest równaniami K= {(x,y,z)eR^J: F(x.y) = 0. z = 0)

Tworzącymi takiej powierzchni walcowej są proste równoległe do osi Oz (rys.5.2). Wówczas dowolny punkt P(x,y,z) należy do powierzchni walcowej W wted) i tylko wtedy, gdy prostokątny rzut P' punktu P na płaszczyznę Oxy należy do krzywej K tzn.

P(x,y,z)eW o P'(x.y)eK o F(x.y)=0.

Zatem równanie

(5.3)    F(x.y) = 0,

jest w przestrzeni R ’ równaniem rozważanej powierzchni walcowej (rys 5.2).

Analogicznie: równanie

F(y,z) = 0,

jest w przestrzeni R ’ równaniem powierzchni walcowej, której kierownicą jest krzyw u o równaniu F(y,z) = 0 na płaszezsznie Oyz, a tworzące są równoległe do osi 0x. Równanie

F(x,z) = 0.

jest w przestrzeni R' równaniem powierzchni walcowej o tworzących równoległych do osi Oy i kierownicy o równaniu F(x.z) = 0 na płaszczyźnie 0xz

Na przykład: a) równanie    - 4 przedstawia na płaszczyźnie Oxz okrąg

K o środku w punkcie (0,0) i promieniu r =2. /aś w- uklad/ie współrzędnych 0x>v równanie to określa walec kołowy o tworzących równoległych do osi Oy i kierownicy K.

b) równanie 2x-t-y-3-0 przedstawia na płaszczyźnie 0xy prostą K. zaś w układzie współrzędnych 0xyz płaszczyznę równoległą do osi tłz (powierzchnię walcowa o kierownicy K i tworzących równoległych do osi Oz).

Powierzchnie walcowe, których kierownicami są krzywe stożkowe - elipsa (w szczególności okrąg), hiperbola, parabola - leżące w jednej z płaszczyzn układu współrzędnych, a tworzące są równoległe do odpowiedniej osi układu współrzędnych są powierzchniami stopnia drugiego.

I) Równanie

yi

h^:

= i.

gdzie a>0, b>0

test w układzie współrzędnych 0xyz równaniem powierzchni walcowej,

y* y²

której kierownicą jest elipsa o równaniu -5-+ — =! leżąca na płosząc b*

czyźnic Oxy, zaś tworzące są równoległe do osi Oz. Powierzchnię tę nazywamy walcem eliptycznym (rys 5.3)

Walec eliptyczny jest powierzchnią symetryczną w-zględem wszystkich płaszczyzn, osi 1 początku układu współrzędnych 0xyz. Przekrój tego walca dowolna płaszczyzną prostopadłą do osi Oz jest elipsą, zaś przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi 0x lub Oy jest dwiema prostymi równoległymi (w szczególności jedną prostą lub zbiorem pustym).

W szczególności, gdy a = b = r, otrzymujemy równanie

2.2    2

x* + y* = r ,

które jest równaniem w alca kołowego.

Rys 5.3.

Rys 5.4.