Matematyka 2 1

40 I Geometria analityczna w przestrzeni

4. PROSTA 1 PŁASZCZYZNA.

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny

Położenie prostej i płaszczyzny względem siebie będziemy rozpatrywać ze względu na kąt między prostą i płaszczyzną.

Przypomnijmy, /e imani kąta między prostą i płaszczyzną jest liczbą z przedziału < 0,-2->

TWIERDZENIE 4.1. Załóżmy, że prosta / i płaszczyzna tt mają odpow iednio równania

| x = x₀ 4 at.

/: y = yo+bt, teR. rc: Ax+By+Cz-ł-D = 0.

|Ż=Z₀4-Ct.

Wówczas

(1)    / ii it o aA ^bB-t-cC = 0,

(2)    /j_rrce.— = — = —

'    A B C’

(3)    cos^(/,n) =

(4)    sin£(/.ir)=

|[a.b,c]x|A,B_TCj|

\a' 4-b^: -c^: VA² +B^: 4-C^: _|aA 4-bB4-cC|_

Va³ +b³ + c³ Va² + B² +C^:

Dowód (I). Wektor [u.b.e] jest równoległy do prostej /, wektor [A.B.CJjest prostopadły do płaszczyzny n Zatem prosta / i płaszczyzna Ti są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory |a,b,c], |A,B,C) są prostopadłe, czyli

/1| Ti o [a,b,c]X[A,B,C] o aA + bB + cC = 0.

Dowód (4). Niech a oznacza kąt wektora r =fa,b,cl 7 wektorem ń = | A, B.CJ zaś tp - kąt między prostą I i płaszczyzną n (rys 4.1)

Można zauważyć (rys. 4.1), że

tp =

-y-a, gdy ae<0.n/2>. góy a *{n/2,n>,

wobec tego

Icos a. gdy « e< 0, n/ 2 >.

-eosa, gdya G(7t/2,ii>.

Zatem simp =|cosu|. Uwzględniając wzór na cosinus kąta a między wektorami r = [a,b.c] i n - [A,B,C’l otrzymujemy tezę (4).

PRZYKŁAD 4.1 Napiszemy równanie płaszczyzny n, która przechodzi przez punkt l’(-1.0,3) i jest prostopadła do prostej /: x + I = -y = z/3.

Ponieważ P(-1,0.3) Git, więc

it: A(x-»-l)-ł-By-t-C(z-3) = 0.

Z warunków zadania wynika, że ni/. Ponieważ

71-L / o [A.B.C] II [1-1.3], więc możemy przyjąć | A,B,C| = (1.-1,3J. Zatem n: (x + l)-y + 3(z-3) = U,

czyli nr: x-y + 3z-8 = 0.    ■

PRZY KŁAD 4.2 Napiszemy równanie płaszczyzny n przechodzącej przez punkt Pł-1.0.3). równoległej do prostej /; x = 2 y - 2z i prostopadłej do płaszczyzny tt, : 2x + 4y - z - 8 = U.

I sposób. Ponieważ P(-1.0.3) en. więc

k : A( x +■ I) + By C( z - 3) = 0.