Matematyka 2 1

20 I Geometria analityczna n przestrzeni

llwapa Równanie płaszczony TT w tym przykładzie możemy również znaleźć przyjmując np. (Xo₍y₀.?«)^s (0,3.5), [A.H.Cl = QR * QP

20 I Geometria analityczna n przestrzeni

PRZYKŁAD 2.3. Napiszemy równanie płaszczyzny n przechodzącej przez środek odcinka PD i prostopadłej do tego odcinka, gdy P( 3,4.0). Q(-7.8.6), (rys. 2.3).

Płaszczyzna n przechodzi przez środek odcinka PQ. czyli przez

punki

) = ( -2.6.3),

3-7 4 + 8 0 + 6 ' 2 ’ 2 * 2

zatern

jt: A(x-t-2) + B(y-6) + C(z-3) = 0.

Wektorem ri [A.B.C] prostopadłym do płaszczyzny jest np wektor PQ, czyli

[A.B.CJ = PQ = [-10,4,6],

astąd    n: -IO(x+2)+4(y-6) + 6(z-3) = 0,

czyli    a: 5x-2y-3z + 31 = 0.    ■

SZCZEGÓLNE POŁOŻENIA PŁASZCZYZNY W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH 0xyz. Rozpatrzmy szczególne położenie płaszczyzny n: Ax + By + Cz + D = 0 w układzie współrzędnych 0xyz.

1) Płaszczyzna n: By + Cz+D = 0 (mamy lu A = 0) jest równoległa do osi 0x, gdyż

A = 0 cvń = |0.B.C]    h_L0x co tt||0x,

Analogicznie: płaszczyzna dana równaniem Ax i Cz+D = l) jest równoległu do osi Oy, zaś płaszczyzna dana równaniem Ax - By • D = 0 jest równoległa do osi Oz.

2)    Płaszczyzna u: Cz+D=0 (mamy tu A = 0. B=0) jcsl równoległa do płaszczyzny Oxy. czyli jest prostopadła do osi Oz, gdyż

A — B = 0 c_> ri = [O.U.C] o ńi Oxy c=> rc || Oxy <=> tlLOz .

\ruilftgicznie płaszczyzna dana równaniem Ax * D-U jest równoległa du płaszczyzny Oy z, czyli Jest prostopadła do osi ()x. zaś płaszczyzna dana równuniem By * D = 0 test równoległa do płaszczyzny Oxz. czyli jesl prostopadła do osi Oy

3)    Płaszczyzna dana równaniem Ax+By + Cz = 0 (mamy tu D = 0) przechodzi przez początek układu (0.0.0).

Płaszczyzna dana równaniem Ax r By = U zawiera oś Oz, gdy/ jest rów noległa do osi Oz i przechodzi przez punkt (0,0,0).

W szczególności płaszczyzna Oxy ma równanie z=0. płaszczyzna Oxz ma równanie y-0, zaś płaszczy zna Oyz ma równanie x=0

PRZYKŁAD 2.4. Napiszemy równanie płaszczyzny tt przechodzącej przez punkt P( 1.2,3) i zawierającej oś Ox

1 sposób. Płaszczyzna n przechodzi przez punkt P( 1.2.3).

zatem

n: A(x-1) + B(y-2)+C(z—3) = 0.

Pozostaje znaleźć dowolny wektor ń = [A.B.C] prostopadły do płaszczyzny ir Z warunków zadaniu wynika, źc

0P = [l.2,3]|| Ji.    I = [1.0,0] || rt,

zatem (rys 2.4) wektor ń - OPx i jest prostopadły do płaszczyzny n : ń = lA.B,C] = ÓPx i = [1,2,31 x [1.0.01=[0.3.-2] X n .

Płaszczyzna n ma więc równanie

n: 0(x- l) + 3(y-2)-2(z-3) = 0.