matematyka 12 2010
1

122

Geometria analityczna w przestrzeni

Iloczyn mieszany

a) «= (-1,2,5), v = (2,0, —3)'; b) S=(-l,-3,4), 2= (5,6,-2).

• Fakt 5.3.5 (własności iloczynu wektorowego)

Niech u, v, w będą dowolnymi wektorami w R³ oraz niech a £ R. Wtedy

1.    u x 2 — — (2 x u);

2.    (au) X v = u X (a?) — a(ux 2);

3. (u + w) x w = u x w + v x w;

4. u x (v + w) == u x v + u x w\

5.    \u x 2| < |rć| • |2|;

6.    wektory ii i 2 są równoległe 4=^ u x 2 = 0.

Uwaga. Równość w nierówności 5. jest możliwa tylko wtedy, gdy wektory 2 i 2 są prostopadłe. Iloczyn wektorowy wektorów zapisanych jako sumy wersorów i, j, k pomnożonych przez liczby można obliczyć stosując powyższe własności oraz wykorzystując diagram:

O Ćwiczenie* 5.3.6

Uzasadnić podane wyżej własności iloczynu wektorowego, o Ćwiczenie 5.3.7

Obliczyć iloczyny wektorowe podanych wektorów:

a) u = 3i + 2j — k, 2 = —4i + j + 5fc; b) u = 4i — 3fe, v = —2j + 5k.

O Ćwiczenie 5.3.8

Obliczyć pola podanych obszarów:

a)    równoleglobok rozpięty na wektorach u = (0,3, —2), v = (—1,2,5);

b)    trójkąt o wierzchołkach A = (1,2,3), B — (0, — 1,2), C = (0,4,0);

c)    powierzchnia równoległościanu rozpiętego na wektorach u — (2,—1,1), v = (0,3,1), fi = (1,1,0).

o Ćwiczenie 5.3.9

Uzasadnić tożsamość (p + q) X (p — q) = —2 (p x q), gdzie p, q € R³. Następnie pokazać, że pole S równoległoboku o przekątnych p. q wyraża się wzorem

S= ^|p x $|.

o Ćwiczenie* 5.3.10

Uzasadnić podane tożs

a)    |2 x 2|^J = |w|² • |2

b)    ii x (v x w) = (u o

c)    u x (v x w) = (w x

d)    (ii x v) o (w x z) =

e)    « x (u x w) + ii) x (

f)    jeżeli ii + v + w = (

g)    jeżeli u x v + v x ii

o Ćwiczenie* 5.3.11

W wierzchołku O czwc nić „przestrzenne twiei

(Saabi

gdzie S&\YZ oznacza

5.4 Iloczyn m

• Definicja 5.4.1 (ilocz

Niech u, v, w będą ' wektorów u, v, w okr

O Ćwiczenie 5.4.2

Korzystając z definicji jek wektorów:

a)    u = (1,1,0), v=((

b)    u — (—2, 1,3), v =