122
Geometria analityczna w przestrzeni
Iloczyn mieszany
a) «= (-1,2,5), v = (2,0, —3)'; b) S=(-l,-3,4), 2= (5,6,-2).
• Fakt 5.3.5 (własności iloczynu wektorowego)
Niech u, v, w będą dowolnymi wektorami w R3 oraz niech a £ R. Wtedy
1. u x 2 — — (2 x u);
2. (au) X v = u X (a?) — a(ux 2);
3. (u + w) x w = u x w + v x w;
5. \u x 2| < |rć| • |2|;
6. wektory ii i 2 są równoległe 4=^ u x 2 = 0.
Uwaga. Równość w nierówności 5. jest możliwa tylko wtedy, gdy wektory 2 i 2 są prostopadłe. Iloczyn wektorowy wektorów zapisanych jako sumy wersorów i, j, k pomnożonych przez liczby można obliczyć stosując powyższe własności oraz wykorzystując diagram:
O Ćwiczenie* 5.3.6
Uzasadnić podane wyżej własności iloczynu wektorowego, o Ćwiczenie 5.3.7
Obliczyć iloczyny wektorowe podanych wektorów:
a) u = 3i + 2j — k, 2 = —4i + j + 5fc; b) u = 4i — 3fe, v = —2j + 5k.
O Ćwiczenie 5.3.8
Obliczyć pola podanych obszarów:
a) równoleglobok rozpięty na wektorach u = (0,3, —2), v = (—1,2,5);
b) trójkąt o wierzchołkach A = (1,2,3), B — (0, — 1,2), C = (0,4,0);
c) powierzchnia równoległościanu rozpiętego na wektorach u — (2,—1,1), v = (0,3,1), fi = (1,1,0).
o Ćwiczenie 5.3.9
Uzasadnić tożsamość (p + q) X (p — q) = —2 (p x q), gdzie p, q € R3. Następnie pokazać, że pole S równoległoboku o przekątnych p. q wyraża się wzorem
S= ^|p x $|.
o Ćwiczenie* 5.3.10
Uzasadnić podane tożs
a) |2 x 2|J = |w|2 • |2
b) ii x (v x w) = (u o
c) u x (v x w) = (w x
d) (ii x v) o (w x z) =
e) « x (u x w) + ii) x (
f) jeżeli ii + v + w = (
g) jeżeli u x v + v x ii
o Ćwiczenie* 5.3.11
W wierzchołku O czwc nić „przestrzenne twiei
(Saabi
gdzie S&\YZ oznacza
5.4 Iloczyn m
• Definicja 5.4.1 (ilocz
Niech u, v, w będą ' wektorów u, v, w okr
O Ćwiczenie 5.4.2
Korzystając z definicji jek wektorów:
a) u = (1,1,0), v=((
b) u — (—2, 1,3), v =