Matematyka 2
5

14 I Geometria analityczna u przestrzeni

Z definicji iloczynu mieszanego wynikają następujące własności:

(1)    (ax b)oć = -<bx a)°ć ,

(2)    (axb)&ć = ao(bxć),

(3)    (a X b)oć = (bxć)aa = (ć X a)ob przeinicnnosć cykliczna. Z własności (3) wynika na przykład, że

lixj)ck. = (jxk)oi=(kxi)oj=joj = |

TWIERDZENIE 1.5 (podstawowe o iloczynie mieszanym). Jeżeli

a-K.ay.a.l* ^^s[b_x*by_tb₁l, ć = [c_x.c_ytcj. to iloczyn mieszany (a,b.ć) wyraża się wzorem

(1.4)

(a,b,ć) =

Iloczyn mieszany ma następującą interpretację geometryczna; wartość bezwzględna iloczynu mieszanego niezerowych i wzajemnie nierównoległych wektorów a.b.c jest równa objętości |V| rów-noległościanu "zbudowanego" nu tych wektorach. Istotnie objętość V jest równa iloczynowi pola S równolcgłoboku zbudowanego na wektorach a, b i wysokości h, czyli

PRZYKŁAD 1.7. Obliczymy objętość Vi ostrosłupa o wierzchołkach: A(I.IJ). B(2.3,4), C(-l,4,l). D(5.5,5).

Rozważmy równoległościan i ostrosłup „zbudowany” na wektorach    _t

AB-[1,2.31, AC = [-2.3,0], AD = [4,4.4|.

Objętość | V,| tego równoległościanu jest równa iloczynowi pola S row-

noległoboku „zbudowanego" na wektorach AB. AC i wysokości h i jest równa wartości bezwzględnej iloczynu mieszanego wektorów

Aa AC, AD":

I 2 3 -2 3 0 4 4 4

|V,|=S-h=|

1=1-321=32.

Natomiast objętość |V rozważanego ostrosłupa jest równa 1/3 iloczynu pola trójkąta zbudowanego na wektorach AB, AC i wysokości h (pole tego trójkąta jest równe 1/2 pola S ) Zatem

|V|=Hs.h=i-S-h=I|_V||=f=-f

PRZYKŁAD 1.8 Sprawdzimy, że punkty: A( 1,2,1). B(3,4.5), C(3,5,7), D<2,4,5) leżą w jednej płaszczyźnie.

Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego pozwala nam wnioskować następująco:

-    jeżeli iloczyn mieszany wektorów AB, AC, AD jest różaiy od zera, to punkty A, B, C, D nic leżą w jednej płaszczyźnie.

-    jeżeli iloczyn mieszany wektorów AB. AC. AD jest równy zeru. to punkty A. B. C, D leżą w jednej płaszczyźnie.

Ponieważ

AB = [2,2,4], AC => [23.6], AD = 11,2.4] ,

więc

= 0.

,    2 2 4

(ABxAC)oAD= 2 3 6 I 2 4

Oznacza to. że punkty A, B. C. D leżą w jednej płaszczyźnie.    ■