Matematyka 2 3

22 I Geometria analityczna u- przestrzeni

czyli

n: 3y-2z = 0.

Usposób. Z warunków zadania wynika, że (0,0,0) en    i 0x || :i.

zatem D = 0 oraz A = 0, a stąd

7i: By-t-Cz = 0.

Punkt Pt 1.2.3) należy do płaszczyzny rt, co równoważne jest w arunkowi 2B + 3C = 0. Równanie to ma oczywiście nieskończenie wiele rozwiązań. Przyjmując np. C = -4 otrzymujemy B = 6. Szukana płaszczyzna ma równanie

tt: 6y-4z= 0

równoważne równaniu

tt: 3y-2z = 0.    ■

WZAJEMNE POŁOŻENIE dwu PŁASZCZYZN. Położenie dwu płaszczyzn będziemy rozpatrywać ze względu na kąt dwuśeienny między tymi płaszczyznami,

l’r/\pomnijmy, żc kąt lirm>w\ kąia dwuściennego międ/> dwiemu plaszc/j-/nami ma miurę z przedziału < 0.-2- >

TWIERDZENIE 2.2. Załóżmy, że płaszczyzny ix., n maja_t równania

n |: A, x-t-B, y+C,z+D, = 0, ti,: A_;x+B_:v+CjZ-t-D_; =0.

Wówczas

(1)

(2)

(3)

n, ±7t, A,A_: + B,B; ⁺C|C, =0, (rys 2.5),

^(,ys2-^6>’

C0S4:(7t,.7t_:) =

A i A, -f B|B, -ł- C^C-1

Dowód (3). Niech u będzie kątem między wektorami prostopadłymi do płaszczyzn n_t,7i₂, zas kątem między tymi płaszczyznami (rys 2.7).

Rys 2.5.    Rys 2.6.

Można zauważyć (rys 2.7), żc

I a, gdy a e<0.n/2> jji-a, gdy ae(Ji/2,n>

Wobec tego

costp =|cosa|.

Uwzględniając następnie wzór na cosinus kąta u między wektorami ń, =[A,,B|.C ] oraz ń_: =[A_:.B_;.C_:] otrzymujemy tezę (3).    L

PRZYKI. AD 2.5. Napiszemy równanie płaszczyzny tt przechodzącej przez punkt P₀(I,23) oraz prostopadłej do płaszczyzn

u,: 2x-3y + z-4 = 0.    n₃: x-y-3z +10 = 0.

I sposób Punkt P₀(l,2.3) należy do płaszczyzny n,zatem n: A(x- 1)+ B(y-2) + C(z- 3) = U.

Z warunków zadania mamy:    :U_7i_: Ponieważ