Matematyka 2 5

64 1 Geometria analityczna u przestrzeni

2.    Wyznaczyć zbiór punktów P( x,y,z) e R^J określony równaniem;

a)x^:+y³=0,    b) x‘ + (y- l)³ + z³ =-4,

c)    (x —y)(x + z) = 0, d) (x-y)^: +(x + z)³ =0.

3.    Nazwać i naszkicować zbiór punktów P( x.y) e R³ określony równaniem;

a) x* — y~ = 1,    b)x‘+4y³ = l,    c)y³-x = 0.

4.    Nazwać i naszkicować zbiór punktów P(x,y,z) e R¹ określony równaniem:

a)x^:-y³ = l,    b) x³ + 4y³ = I,    c)r-x = 0.

d) y² + (z-2)^; =4,    e) z^: +y^: =4,    Dyz=4.

5.    Nazwać i naszkicować powierzchnię o równaniu:

a) 3x² + y^: + z^: = 4X, b)z = yf\ x^: -4y³, c)z = yjx^: 4 4y^: -4 ,

d) z = (x-1)³ +y‘, c) z = 7(x-l)²+y^:. 0 z = 7(a- 1)^:-y^:.

OdpoH iedii.

1    a) Symetria wzgl. 0xz, Oy, (0.0,0), h) 0xy, Oyz, «y. c) symetria wzgl. wszystkich płaszczyzn, osi i początku układu współrzędnych 0xyz, d) Oyz, 0xz, Oz.

c)    0x. 0y. Oz, I) brak symetrii

2    u) Oś Oz. x^: - y^: = 0 o x = 0, y = 0 i z dowolne, b) zbiór pusty, c) suma n, v..-s₂ płaszczyzn: n_r: x - y = 0. n_?: x ♦ z- 0. d) iloczyn ir, nit. płaszczyzn z c)

3    a) Hiperbola, bj elipsa, cjparabola.

■I a) Walce hipcrboliczny. tworzące równoległe do osi Oz, b) walec eliptyczny, tworzące równolegle do osi Oz, ci walec paraboliczny, tworzące równolegle do Oy

d)    walec kołowy, tworzące równoległe do osi 0x, e) walec kołowy, tworzące równoległe do ost 0x, 0 walce hipcrboliczny. tworzące równoległe do osi 0x

5 a) Elipsuida obrotowa, b) "górna" połowa elipsoidy; Z > 0, c) górna " połowa hiperboloidy Jednopowlokowej; z>0. d) paraboloida obrotowa o wierzchołku (1,0,0), c) "górna" połowy stożka obrotowego o wierzchołku (1,0,0), ułożonego w/dłuz osi (łz, 0 "górna" połowa stożka obrotowego o wierzchołku 11,0,0) ułożonego wzdłuż osi 0x.

U. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

1. PRZESTRZEŃ METRYCZNA I PEWNE WŁASNOŚCI JEJ PODZBIORÓW.

PRZESTRZEŃ METRYCZNA Pojęcie przestrzeni metrycznej zostało już wprowadzone w pierwszym tomie lej książki (rozdz. 1. 4) O ile w dotychczasowych rozważaniach można było je pominąć, to o-becnie. przy omawianiu funkcji wiciu zmiennych, pojęcie przestrzeni metry czjięj jest bardzo przydatne i mc warto z niego rezygnować. Dlatego też proponujemy, aby Czytelnik zechciał jeszcze raz przeczytać wskazany paragraf, mimo żc pewne wiadomości dotyczące tego zagadnienia zostaną tu powtórzone.

Załóżmy, żc dany jest niepusty zbiór X i funkcja p . która każdej par/c elementów zbioru X przyporządkowuje liczbę rzeczywistą, przy czym funkcja la dla dowolnych p,_tp,.p₃ eX spełnia następujące warunki:

O)    ^(PpPi)=° Pi ⁼ P:»

(2)    ^HPmP: >~ /*łP:»Pi)»

(3)    p<p₁,p_:)<p(p_I.p₁)+p(p₃,p₂).

Funkcję p nazywamy metryką lub odległością w zbiorze X, a zbiór X z 'netryką p nazywamy przestrzenią metryczna i oznaczamy symbolem (X.jc.>). Liczbę p(p,.p_:) nazywamy odległością elementów p, ip_;, a Warunki (I), (2), (3) - aksjomatami metryki.