Matematyka 2 1

30 L Geometria unalil\'czna w przasir^m

15. Wyznaczyć zbiór punktów (x,y,z) e R określony równaniem:

a)    (2x-y-z+3)(x-r3y -2) = 0,

b)    (2x-y-z+3)²-(x + 3y-2)² = 0_r

c)    (2x-y-z+3)² +(x+3y-2)² =0.

O d p o w I c d / i

2.    a) x - y 2/- 3 - 0. blx + 3z = 0, c) z = 0, d)y-3 = 0

3.    a) x - y z-3-0, b) 3x-Sy + 2z = 0. c)2x + 3y-8=0

4.    a| 5x-f y + 2z-l5 = 0. b) 3x-3y-z=0, c)y-3 = 0, d) x -1 - 0

5.    a) X—4-0, b) y-5 = 0. c) z-6 = 0.

(    a)2y-z-0, b) 2x - 3z = 0.

7    a) y-z + I = 0. b) x+ 2y-5 = 0.

8    a) (3,0.0). (0,6,0), (0,0.2), b) Tl przecina osie Jedynie w (0,0,0),

c) (3,0.0), (0,6,0), nie przecina osi Oz, d) (3,0.0). osi Oy nie przecina, (0.0,2).

9. a) 3x-15y+IOz + 5 = 0, b) 3x-4y-2z-24 =0. c)3x-4z=0.

10    a) k = 2, b) k = 1.

11    a) k = 1/5. b) nic istnieje k.

12. a) d = 19/18; znale# dowolny punkt płaszczyzny x, np (0,0,-5/6) i obliczyć odległość P od rc, b) d = 33/10 , c) d = 0. płaszczyzny pokrywają się.

13 a) !4x-25y-l3z-40 = 0, b)4xi-7y+2z-24 = 0,

c)    x « y - 2z — 0, czyli szukanąpłaszczyznąjest n,,

d)    takich płaszczyzn jest nieskończenie wiele: kazała płaszczyzna

x X,(2x-^k2y + z-2)-X₂(3x-y-z-2)=0. gdzie    >0. spełnia podane

warunki

14.    a) 3lx-49y—3z- 114 =0, h)6x + z-l7 = 0,

C) k + y - z - 3 = 0, czyli płaszczyzna a,, d) każda płaszczyzna o równaniu

X,<x-ry-z-3) + z._?(2x-y-3z-8) = 0. gdzie J.² +>.% >0, jest płaszczyzną prostopadłą do płaszczyzny rr,

15.    a) Suma n, płaszczyzn x,:2x-y-z + 3 = 0, x₂:x + 3y-2 -0, blsuma it,y>n₂ płaszczyzn i,:x-4y- z + 5 = 0. n_;: 3x - 2y - z-*- 1 = 0. gdyż

(2x-y-zr3)² = (x + 3y-2)* »2x-y-z + 3=x * 3y-2 lub 2x-y-z+3 = -(x + 3y -2).

cl iloczyn *,nn_; płaszczyzn «,:2x y z.»3-0, it_;:x-3y-2 = 0. czyli krawędź. przecięcia tych płaszczyzn

3. PROSTA W PRZESTRZENI.

równania parametryczne i kierunkowe

PROSTEJ. Znajdziemy równania prosiej mając dany punkt leżący na tej prostej i wektor do niej równoległy.

TWIERDZENIE 3 1. Załóżmy, że niezerowy wektor r = [a,b,cl

(tzn.a^;+b^;+c^:>0) jest równoległy do prostej I i punkt P_ll(x₀,y₀,z₀) należy do tej prostej (rys 3.1).

Wówczas punkt P(x,y,z) należy do prostej / wtedy i tylko wtedy, gdy liczby x, y, z spełniają układ równań

(3.1)

x = x₀ + at. y=y₀ + bt.    teR.

z = z₀+ct,

Równania (3.1) nazywamy równaniami parametrycznymi prostej l, t-parametrem , zaś a, b, c - współczynnikami kierunkowy mi tej prostej, równania (3.1) będziemy również zapisywać w postaci

x = x₀+at. y=y₀ + bt, z=z₀-ł-ct, teR.

Dow ód. Niech P(x,v,z) będzie dowolnym różnym od P₀ Punktem w układzie współrzędnych Oxyz. Wówczas

P(x,y,z)e/ o ^P||r c=> P^P = tr, teR <=>

[x-x_fl,y-y₀,z-z₀] = t(a.b.cj, teR o (x-x_Q =at,y-y₀ = bt,z-z₀ = ct, teR).