Matematyka 2 1

60 I Geometria aruiUnyznu » przestrzeni

Jest to powierzchnia symetryczna względem płaszczyzn Oyz. 0xz i osi Oz, przecina osie układu współrzędnych 0xyz jedynie w punkcie (0.0,0) zwanym wierzchołkiem tej paraboloidy. Przekrój tej powierzchni dowolną płaszczyzną prostopadłą do osi 0x lub Oy jest parabolą, zaś przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi Oz o równaniu z. = k, gdy k > 0, jest elipsą Paraboloidę eliptyczną o równaniu (5.6) przedstawia rysunek 5.9.

W szczególności, gdv a = b. powierzchnię (5.6) nazywam) para-boloida obrotową.

Pow ierzchnię o równaniu

2 .2

(5.7)    —^⁼ z, gdzie a>0, b>0. a* b‘

nazywamy paraboloidą hiperbolic/ną.

Jest to powierzchnia symetryczna względem płaszczyzn 0xz. Oyz i osi Oz; przecina osie układu współrzędnych 0xyz jedynie w punkcie (0,0,0). Przekrój tej powierzchni dowolną płaszczyzną prostopadłą do osi 0x lub Oy jest parabolą, zaś przekrój dowolną płaszczyzną prostopadłą do osi Oz jest li i p c r b o 1 ą, w szczególności dwiema prostymi. Paraboloidę hiperboliczną o równaniu (5.7) przedstawia rysunek 5.10.

HłPERBOLOIDY. Powierzchnię o równaniu

2    J2 2

(5.8)    *1 ₊ 21-4=|, gdzie a>0. b>0. c>0, a* b' c"

nazywam) hipcrbuloidą jednopowlukową.

Jest to powierzchnia symetryczna względem wszystkich płaszczyzn. osi i początku układu współrzędnych Oxyz, przecina osie 0x i Oy odpowiednio w punktach (±a,0,0) i (0,±b.0). Przekrój tej powierzchni dowolną płaszczyzną prostopadłą do osi 0x lub Oy jest h i p e r b o I ą, w szczególności dwiema prostymi, zaś przekrój dowolną płaszczyzną prostopadłą do osi 07 jest elipsą. Hiperboloidę jednopowłokową o równaniu (5.8) przedstawia rysunek 5.11.

W szczególności, gdy a=b. otrzymujemy hiperboloidę jednopowłokową obrotową.

x

Rys 5.11.

Rys 5.12.

Powierzchnię o równaniu

> 2

(5.9)    — + -^-—-^- = -1, gdzie a>0. b>0. c>0,

a* b' c*

nazywamy hiperbuluidą dwupowlokową

Jest to powierzchnia symetryczna względem wszystkich płaszczyzn. osi i początku układu współrzędnych Oxyz. Przecina oś Oz w punktach (0,0.±c). Przekrój tej powierzchni dowolną płaszczyzną prostopadłą do osi 0x lub Oy jest hiperbolą, zaś przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi Oz o równaniu i - k. gdy |k|> c. jest elipsą. Hiperboloidę dwupowłokowąo równaniu (5.9) przedstawia rysunek 5 12.

W szczególności, gdy a= b, otrzymujemy hiperboloidę dwupowłokową obrotową.