Matematyka 2 3

52 I Geometria analityyzna w pmwtrztm

c) równanie

(x-l)⁷+y^; -(z-3)^J rii

równoważne układowi równań X = I, y = 0, z--3 określa punkt Pi 1,0.-3). d> równanie

(x -> -3z-6)’ -f{y-z-rK)^: -0 Icst równoważne układowi równań

lx - y+3«-6-=0, jy-z-8-0

i określa prost«t, która jest krawędzią przecięciu plaszc/yzn n,:x-y+3z + 6^0 i s-.:y *z+8 = 0.

c) natomiast zhlór punktów >pdniających równanie x* + U-ył 8 = 0

jest zbiorem pustym, gdy/ nie istnieje taki punkt l*(x.y_tz). którego współrzędne spełniłyby to równanie

Załóżmy, ze równanie F(x,y.z) = 0 jest równaniem pewnej po-wierzchni S Wówczas;

1)    Powierzchnia Sjest symetryczna względem płaszczyzny l)xy wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z dowolnym punktem P(x_ty,z) należący do powierzchni S również punkt symetryczny do mego względem płasz czyzny 0\> tzn. P’(x,y.-z) należy do lej powierzchni, czyli dla hażdeg P( x,y.z) €S mamy

F(x.y.z) = 0 a F(x,y,-z) = 0.

Analogiczna prawidłowość zachodzi przy rozważaniu symetrii powierzchni względem pozostałych płaszczyzn nkiadu współ rzędnyc" 0xyz. ¹

3) Powierzchnia S jest symetryczna względem początku układu współrzędnych Oxvz wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z dowolnym punkiem P(x,y.z) należącym do pow ierzchni S również punkt symetryczny do niego względem początku układu współrzędnych Oxyz tzn P’(- x,-y,-7) należy do tej powierzchni, czyli dla każdego P(x,y,z) cS

mamy

F(x,y,z) = 0 a F(-x,-y,-z) = 0.

Na przykład

a) powierzchnia u równaniu x* *■ y t - 0 jol symetryczna względem płaszczyzny Oy/, a nie jest symetryczna względem płaszczyzn 0x/, Oxy, osi 0.x. Oy, Oz i początku układu współrzędnych Oxyz,

h) powierzchnia o równaniu xy *• z^: - 0 jest symetryczna względem płaszczy /ny Oxy. osi Oz, |K»c/ąLku układu współrzędnych Oxy/. u me jest symetryczna względem płaszczyzn Uxł Oyz i osi 0x, Oy,

c) natomiast powierzchnia o równaniu x^ł • xy • y/- 8-0 nic jol >ymctryezn» względem żadnej płaszczyzny, osi i początku układu współrzędnych Oxy/_

Dokładniej zajmiemy się powierzchniami stopnia drugiego

Powierzchnią stopniu drugiego nazywamy zbiór punktów P(x.y,z|. których współrzędne x. y. z spełniają równanie stopnia drugiego względem x. y. z

(5.2)    a₂x¹+ B_;y' 4C\z⁷4 A,xy + B,xz-f C,yz+ Ax-t-By-ł-Cż + D^O,

gdzie co najmniej jeden /c współczynników A_:. B_:.C_:. A,. B,.C, jest różny od zera tzn A; + B; + C: + Aj + Bj + Cj > 0.

Spośród wszystkich powierzchni stopnia drugiego omówimy kolejno: powierzchnie walcowe, powierzchnię kulistą czyli sferę, elipso-'dę. paraboloidy, hipcrboloidy i stożek eliptyczny.

POWIERZCHNIE WALCOWE. Powierzchnią walcową nabywamy zbiór prostych rów noległyeh do danej prostej i przechodzących Pr?ez punkty krzywej K. przy czym krzywą K nazywamy kierownicą, a proste - tworzącymi powierzchni walcowej (rys 5.1)

1

   Powierzchnia jest S symetryczna względem osi 0x, wted

i tylko wtedy, gdy wraz z dowolnym punktem P(x,y.z) należącym do powierzchni S również punkt symetryczny do niego względem osi 0x tzn. I^>'(x.-y.-z) należy do tej powierzchni, czyli dla każdego P(x.y,z)eS mamy

F(x,y,z) = 0 a F(x,-y,-z) - 0.

Analogiczna prawidłowość zachodzi w przypadku syme względem pozostałych osi układu współrzędnych 0xyz.