Matematyka 2 7

26 I Geometria analityczna w jtrzestrzem

PĘK PŁASZCZYZN. Niech / oznacza krawędź przecięcia dwu nierównoległych płaszczyzn n, i 7t> (rys 2.8)

Rys 2.8.

Pękiem płaszczyzn wyznaczonym przez, dwie nierówno* ległe płaszczyzny n, 17t_: nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn zaw ierających krawędź l przecięcia płaszczyzn n, i ji_;.

Oczywiście do lego pęku płaszczyzn należy również płaszczyzny rt, ■ n_;.

TWIERDZENIE 2.3. Załóżmy, że dwie nierównoległe płaszczyzny mają równania

Ti,: A,x +B,y + C,z+D, =0.

n₂: A_;x + Bj>' + C\z + D_: = 0.

Wówczas

(1)    dowolna płaszczyzna 7i należąca do pęku płaszczyzn wyznaczonego przez płaszczyzny n, i n_; ma równanie postaci

(2.4) k,(A,x + B,y-f C,Z+D,)+k₂(A_;x + B₂y-ł-C₂z + D,) = 0, gdzie X„k₂ są pewnymi liczbami rzeczywistymi nierównymi jednocześnie zeru tzn. X,, k_: € R, X², + X^;; > 0.

(2)    dla dowolnych X,.X₂eR, X*+X₂>0, płaszczyzna u dana równaniem (2.4) należy do pęku wyznaczonego przez płaszczyzny

Ji, i n₂.

Zauważmy, ze dlu X, - 0 z (2.4) otrzymujemy równanie płaszczyzny x_z. zaś dla = O - równanie płaszczyzny n,

Równanie (2.4) nazywamy równaniem pęku płaszczyzn wyzmaczonego przez płaszczyzny n, i ir₂.

PRZYKŁAD 2.7. Napiszemy równanie płaszczyzny n przechodzącej przez punkt (1,3,4) oraz zawierającej krawędź przecięcia płaszczyzn n,: x-y-3z-6 = 0, n₂: x + y+2z-r3 = 0.

Szukana płaszczyzna rt jest jedną z pęku płaszczyzn wyznaczonego przez płaszczyzny n, i Zatem

Ti: X,(x-y-3z-6) + X,(x + y+ 2z + 3) = 0.

Ponieważ punkt (1,3,4) należy do płaszczyzny n, więc

X,(l-3-3-4-6) + X_:(l + 3 + 2 4 + 3) = 0.

Stąd otrzymujemy związek między X, i X,:

-20X, + 15X_: =0.

Zatem np. dla X, = 3 mamy X₂ =4. Płaszczyzna n ma więc równanie n: 3(x - y-3z-6) + 4(x + y+ 2z + 3) = 0,

czyli

n: 7x -*-y-z-6 = 0    ■

PRZYKŁAD 2.8. Napiszemy równanie płaszczyzny n zawierającej krawędź przecięcia płaszczyzn

K,: x + y-2z-*-3 = 0,    *₂: 2x-y-3z—6 = 0

oraz prostopadłej do płaszczyzny

Jtj! 3x-y + 4z-7 = 0.

Szukana płaszczyzna n jest jedną z pęku płaszczyzn wyznaczonego przez płaszczyzny n, i n_:, zatem

k : X,(x + y- 2z + 3) + X_:(2x - y - 3z- 6) = 0,

czyli

ir: (X, + 2X_:)x + (X, -X_:)y-(2X, + 3X_: )z + 3X, -6X₂ = 0.-7 ssarunków zadania wiemy, że n 1 n₃. Ponieważ

itlitj o (X, + 2Xj)-3 + (X,-X,)(-!)-(2X, + 3X₂)-4 = 0,

*ięc otrzy mujemy

-6X, -5X₂ = 0.

2atem np. dla X, = 5, mamy X,=-6. Płaszczyzna n ma więc równanie n: 5(x + y-2z + 3)-6(2x - y- 3z-6) = 0, czyli n: 7x — I ly-8z.-5l = 0.    ■