3582321013

1 Geometria analityczna

1.1 Wektory na płaszczyźnie

Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych, to można określić współrzędne wektora a jako miary rzutów a_x, a_y tego wektora na osie 0x i Oy.

Oznaczamy AB — a — [a_x, a_y\. Jeżeli A — (zi, yi), B — (2:2,1/2), to a_x — Z2 — x\, a_v = y2~yi-

Zauważmy, że gdy i, j oznaczają wektory jednostkowe na osiach, to

a = a_xi + a_yj.

Długość wektora wynosi

|o| - sja\Ar<Ą - \J(z₂ — zi)² 4- (y₂ - yi)²-Wektory o długości 1 nazywamy wersorami.

Natomiast kątem między wektorami leżącymi na półprostych li i l₂ nazywamy ten z dwóch kątów utworzonych przez te półproste, którego miara spełnia nierówność 0 < <P < 7r/2.

Iloczyn skalamy wektorów a i b określamy jako

do 6 = |d||6|cos<^.

Bezpośrednio z tej definicji mamy, że i o i — j o j = 1 oraz i o j = 0. Stąd otrzymujemy

cl o b ~ a_xb_x 4- dyby.

Zatem |a| |6| cos <p — a_xb_x + a_yb_y, więc

COS<£ —

|d_xb_x 4*

id| • pi

(wartość bezwzględna dlatego, żęty kąt spełniał warunek 0 < (p < 7r/2).

Przykład Dane są punkty A = (1,1), B = (3,3), C — (5,1). Obliczyć współrzędne wektorów AB, BÓ, CjI, ich długości, i kąty między nimi.

1.2 Wektory w przestrzeni

Wszystkie pojęcia nie wymagające układu współrzędnych definiuje się tak jak na płaszczyźnie.

Niech Ozy z będzie prostokątnym układem współrzędnych w przestrzeni, a i, j k oznaczają wektory jednostkowe na osiach. Wektor AB o początku A — (zi,yi,zi) i końcu B = (#2,2/2, z₂), ma współrzędne a_x = z₂ — zi, a_y = y₂ — yi, a_z = z₂ — z\. Piszemy:

AB = [x₂ - xi,y₂ - yi, z₂ - zi].

1