kartka zadań

Geometria analityczna - zadania na Robert Dryło

1.    Napisać równanie hiperboli, której ogniskami są końce osi wielkiej elipsy 16x² + 25y² = 400, a kierownice przechodzą przez ogniska tej elipsy.

2.    Napisać równanie hiperboli, której ogniska położone są na osi x symetrycznie względem początku układu, a mimośród i ogniskowa są odpowiednio równe 2 i 12.

3.    Napisać równania stycznych do hiperboli 4x² — y² = 36 i równoległych do prostej 3x — y — 1 = 0.

4.    Napisać równania stycznych do hiperboli x² - 4y² — 32 poprowadzonych z punktu ^ = (1,0).

5.    Napisać równanie stycznych do hiperboli 16x² — 9y² = 144 jednakowo odległych od prawego ogniska i początku układu.

6.    Napisać równanie paraboli o ognisku F i kierownicy k dla (i) F = (-4,0) i k : x = 4; (ii) F = (4,3) i k : y = -1.

7.    Wykazać, że elipsa i hiperbola mające wspólne ogniska przecinają się pod kątem prostym.

8.    Wykazać, że proste łączące dowolny punkt hiperboli z końcami dowolnej średnicy są równoległe do dwóch średnic sprzężonych.

9.    Znaleźć miejsce geometryczne punktu z którego wychodzą do hiperboli x? ja¹ — y²/b² = 1 dwie styczne prostopadłe.

10.    Wykazać, że biegunowe wszystkich punktów tej samej średnicy elipsy lub hiperboli są równoległe.

11.    Znaleźć biegun prostej Ax + By + C = 0 względem elipsy x² ja² + y²/b² = 1, hiperboli x²/a² — y²/b² = 1 i paraboli y² = 2px.

12.    Na paraboli y² = 24x dany jest punkt odległy od ogniska o 14. Wyznaczyć odległość tego punktu od wierzchołka paraboli.

13.    Napisać równanie stycznej do paraboli y² = 16x i prostopadłej do prostej x + 2y + 4 = 0.

14.    Napisać równania stycznych do paraboli y² = 82; poprowadzonych z punktu

R = (-2,0).

15.    Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt P = (2,1) i przecinającej parabolę y² = 4x w punktach symetrycznych względem P.

16.    Znaleźć miejsce geometryczne środków wszystkich cięciw paraboli y² = 2px, które leża na prostych przechodzących przez punkt M.

1