Matematyka 2 7

46 I Gcomerria analityczna u' przestrzeni

46 I Gcomerria analityczna u' przestrzeni

|-l-20+2i_ l

VT^:+(-2)^; V5

PRZYKŁAD 4.8. Znajdziemy punkt Q,który jest rzutem prostokątnym punktu l’(-3,1.-2) na płaszczyznę tt 2x y • 3z 1 = 0

Najpierw piszemy równania prostej ( przechodzącej przez punkt P i prostopadłej do płaszczy zny n (rys. 4.5)

/: x = -3 + 2t. y = l — t. z = -2-r3t, tel<

P

Rys 4.5

Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę n jest punkt przecięcia prostej / z płaszczyzną a . Rozwiązujemy więc układ równań

x = -3 + 2l, y = I -1, z = -2 + 3(. 2x-y + 3z-l = 0

Stąd otrzymujemy. ŻC Q - (-1.0,1).

PRZYKŁAD 49. Napiszemy równania parametryczne pro-

* \+1 stej /1, która jest rzutem prostokątnym prostej /

płaszezyznę ;t: x - 2z + 3 = 0.

Wybieramy dwa dowolne punkty prostej /, tip. P, < —1,1.0) i IŁ(1,0.2). Piszemy równanie płaszczyzny tt₍ przechodzącej przez prostą / i prostopadłej do płaszczyzny n:

P, (-1.1,0) ert, c=* 7t,: A(x + I)« B(y 1)iCz = 0. P₂a0,2)eji, o 2A-B+2C = 0,

TI. J_ 7T o A -2C = 0 .

Stąd

x +1 y-1	z
2 -1	2
1 0	-2

czyli

7i,: 2x+6y+z-4 = 0

Rzutem prostokątnym prostej / na płaszczyznę .t jest krawędź przecięcia płaszczyzn ^ i n, (rys. 4.6), czyli

.. Jx-2z-ł 3= U,

'* |2x+6y+z-4 = 0

Przyjmując np. z. -1 otrzymujemy stąd równania parametryczne pro-siej /,

/,: x = -3+2t,    |t, z=t, teR.    ■

PRZYKŁAD 4.10. Znajdziemy punkt P symetryczny do punktu Q(0,4,6) względem płaszczyzny :r: 2x-y -3z i 8= u.

Piszemy najpierw równania prostej / przechodzącej przez Q i prostopadłej do płaszczyzny n(rys. 4.7)

. x y-4 z-6

^: 2~ -1 " -3 ’

Następnie znajdujemy współrzędne punktu S. który jest punktem wspólnym prostej /1 płaszczyzny it; rozwiązujemy więc układ równań

2x-y 3zt-8 = 0.

Stad otrzymujemy, ze S=(2_t3.3).