matematyka 12 2010
0

:zna w przestrzeni

anu;

io płaszczyzny pod-

do wektorów u — 0,0), b= (1,73,0)

•aza się wzorem:

rozpiętą przez dwa

i wektorami w R³. z orientacją układu

Iloczyn wektorowy

121

® Definicja 5.3.2 (iloczyn wektorowy)

Niech u i v będą niewspółliniowymi wektorami w R³. Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów u i v nazywamy wektor w, który spełnia warunki:

1.    jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach u i v (rys. 5.3.1-2);

2.    jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach u i v, tj. równa

|u| • |w| • sin<p,

gdzie (p jest kątem między wektorami u i v;

3.    orientacja trójki wektorów u, v. w jest zgodna z orientacją układu współrzędnych Oxyz.

Iloczyn wektorowy pary wektorów u i v oznaczamy przez u x v. Jeżeli jeden z wektorów u. v jest wektorem zerowym lub jeżeli wektory te są współliniowe, to przyjmujemy, że u x v = O.

Rys. 5.3.1. Wektor w jest iloczynem wektorowym wektorów u i v w układzie prawoskrętnym.

Rys. 5.3.2. Wektor w jest iloczynem wektorowym wektorów u i v w układzie lewoskrętnym.

Fakt 5.3.3 (wzór do obliczania iloczynu wektorowego)

Niech u = (xi,yi,z\) oraz v = (X2,U2,Z2) będą wektorami w R³. Wtedy

	*		i	j	k
		U X V =	Xi		Z\
orientacja układu			*2	2/2	22

inych. Układ u, ił, y z prawoskrętnym

który ii, v, w są orientacji.

gdzie i, j, k oznaczają wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.

Uwaga. Przy obliczaniu powyższego wyznacznika wersory i, j, k należy traktować formalnie tak jak liczby.

o Ćwiczenie 5.3.4

Korzystając z powyższego wzoru obliczyć iloczyny wektorowe podanych par wektorów: