matematyka 12 20105

Geometria analityczna w przestrzeni

• Definicja 5.1.10 (orientacja układu współrzędnych w przestrzeni)

W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy, Oz wyróżniamy dwie orientacje układu współrzędnych Oxyz\ układ prawoskrętny (rys. 5.1.15) i łewoskrętny (rys. 5.1.16).

Rys. 5.1.15. Układ prawoskrętny. Rys. 5.1.16. Układ łewoskrętny.

Uwaga. Nazwa układ prawoskrętny pochodzi od następującej interpretacji: jeżeli prawą rękę umieścimy tak, aby kciuk wskazywał dodatnią część osi Oz, to zgięte palce wskażą kierunek obrotu od osi Ox do osi Oy. Podobną interpretację ma układ łewoskrętny.

•    Definicja 5.1.11 (wersory na osiach układu współrzędnych)

Wektory *=(1,0, 0), j = (0,1,0), fc = (0,0,1) nazywamy wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz (rys. 5.1.15 i 5.1.16).

•    Definicja 5.1.12 (długość wektora)

Długość wektora v = (x,y,z) jest określona wzorem:

H = \Jx² + y² + z².

Uwaga. Długość wektora w = (x,y,z) jest równa odległości punktu P = (x,y,z) od początku układu współrzędnych (rys. 5.1.17). Każdy wektor o długości 1 nazywamy wersorem.

Rys. 5.1.17. Interpretacja geometryczna długości wektora.

Wektory

o Ćwiczenie 5.1.13

Obliczyć długości podai

a)    u = (-3,0,4);

b)    v= (>72, v^/3, V3T) ;

c)    AB, gdzie A = (2,1,

■ Fakt 5.1.14 (własności Niech u, v będą wekto:

1.    |u| > 0, przy czym j

2.    |aw| = |a| • |H|;

3.    |2+ f| < |5| + |v|;

4.    ||«| - |w|| < |u- w|

Uwaga. Nierówność 3., równość tę ze względu trójkąta (rys. 5.1.18). 1 u = 0 lub 2=0 albo,

Ry

■ Fakt 5.1.15 (położenie

Niech fi oraz fj będą P podziału odcinka Aj wodzący

W szczególności środek

i

Z"

r

)

v -

fz⁷ .....