56846 matematyka 12 20109

120

Geometria analityczna w przestrzeni

Iloczyn wektorowy

o Ćwiczenie 5.2.9

Korzystając z rachunku wektorowego obliczyć:

a) kąt między przekątnymi sąsiadujących ze sobą ścian sześcianu;

b*)kąt nachylenia krawędzi bocznej czworościanu foremnego do płaszczyzny podstawy.

o Ćwiczenie 5.2.10

a)    Znaleźć wektor w o długości 1, który jest prostopadły do wektorów u — (1, -2,0), v = (0,3, -2);

b)    Znaleźć wektor c o długości 1, który z wektorami a = (1,0,0), b = (l,\/3,0) tworzy kąty

O Ćwiczenie 5.2.11

a) Uzasadnić, że rzut prostokątny wektora u na wektor v wyraża się wzorem:

ii o v

H² ’

b*) Uzasadnić, że rzut prostokątny wektora u na płaszczyznę rozpiętą przez dwa prostopadłe wektory t»i, $2 wyraża się wzorem:

u o V\ _ u o Vo

1*1'-

l«2 |

• Definicja 5.3.2 (iloczyi

Niech u i v będą niewsp rządkowanej pary wektc

1.    jest prostopadły do

2.    jego długość jest ró tj. równa

gdzie <p jest kątem i

3.    orientacja trójki we dnych Oxyz.

Iloczyn wektorowy par wektorów u, v jest we przyjmujemy, ze 2 x ii

5.3 Iloczyn wektorowy

• Definicja 5.3.1 (orientacja trójki wektorów)

£3,?/a,z.O beda wektorami w R³.

Niech u = (®i,	v = (a	2,2/2	Z2),	W
Mówimy, że wektory u,	v, ii) tworzą		układ o
współrzędnych, jeżeli
		xl	2/1
		Xi	2/2	z-l
			2/3	Z3

j

Rys. 5.3.1. Wektor w wektorowym wekti w układzie prawa

■ Fakt 5.3.3 (wzór do t Niech u = (xi,j/i,zi)

> 0.

W przypadku, gdy podany wyznacznik jest ujemny mówimy, że orientacja układu wektorów u, v, w jest przeciwna do orientacji układu współrzędnych. Układ u, v, w nazywamy prawoskrętnym (lewoskrętnym), gdy jest on zgodny z prawoskrętnym (lewoskrętnym) układem współrzędnych.

Uwaga. Wyznacznik w powyższej definicji zeruje się, gdy wektory u, v, w są współpłaszczyznowe. Wtedy jednak nie ma sensu mówić o ich orientacji.

gdzie i, j, k oznaczaj

Uwaga. Przy obliczar formalnie tak jak licz

o Ćwiczenie 5.3.4

Korzystając z powyż: torów: