matematyka 12 20108

tria analityczna w przestrzeni

B

Iloczyn skalarny    119

il Fakt 5.2.2 (wzór do obliczania iloczynu skalarnego)

Niech u = (x\,y\,z{) oraz v = (x₂, y₂> ^2) będą wektorami w R³. Wtedy:

UO V = XlX2 + yij/2 + *1 Z-i-

stosunku 1 : A.

Z'i], to współrzędne wektora

AZł + Z2

^Z~ 1 +• A

yć współrzędne środka odcinka

lku 1 : 3. Znaleźć współrzędne

chołków A = (1,—1,0), B = ch 5 = (2,4,0). Wyznaczyć

syn skalarny wektorów u i v

ł

.1).

iu skalarnego.

im#

O Ćwiczenie 5.2.3

Obliczyć iloczyny skalarne podanych wektorów:

a) u = (—1,2, —3), v — (2,0, -1); b) u = (s/2, y/3, VŚ), v = (A-727,0).

-Z +1L'0

o Ćwiczenie 5.2.4

Uzasadnić, że kąt między wektorami niezerowymi u — (xj, yi, z\) i v = (x₂, y₂, z₂) wyraża się wzorem:

O Ćwiczenie 5.2.5

Obliczyć kąty między podanymi parami wektorów:

a) a =(3,-1,2), v = (4,2, —5); b) u = (3,-1,2), v = (1,2,3).

• Fakt 5.2.6 (własności iloczynu skalarnego)

Niech u, v, w będą    dowolnymi wektorami w R³ oraz niech a €    R.    Wtedy:

1. uożl=no2;    2.    (au) o v = a (u o 2);

3. uo u = |2|²;    4.    (u+v) o w = u o w+v o u>]

5. |2 o 2| < |2| •    \v\\    6.    wektory u i v są prostopadłe    <=> u o    v    =    0.

Uwaga. Równość podana w punkcie 4. jest prawdziwa także dla dowolnej liczby wektorów składników. Równość w nierówności 5. jest możliwa tylko wtedy, gdy wektory u i n są równoległe.

o Ćwiczenie* 5.2.7

Uzasadnić podane powyżej stwierdzenia.

O Ćwiczenie 5.2.8

a)    Obliczyć iloczyn skalarny wektorów a i b, jeżeli a = 3p — 2q, b = p — 5q, przy czym p i q są wzajemnie prostopadłymi wersorami;

b)    Obliczyć długość wektora a — 5p — 4q, jeżeli p i q są wzajemnie prostopadłymi wersorami;

c*) Jakie warunki muszą spełniać wektory p, q, r, aby istniał prostopadłościan, którego przekątnymi ścian wychodzącymi z jednego wierzchołka będą te wektory?

d*)Czy istnieje czworościan, którego podstawą jest trójkąt prostokątny i którego wszystkie kąty płaskie przy wierzchołku nie należącym do podstawy są proste?

mmmmmm