Matematyka 2 5

34 I Geomelna atialtty czna w przestrzeni

jA,x-t-B,y+C,z+D, =0, [A ,x + B₂y-fC\z+D₂ =0

Równania (3.3) nazywamy równaniami krawędziowymi prostej /.

Uwaga Wektor r=l,i.b.cl równoległy do prostej / danej równaniami krawędziowymi (3.3) jest równoległy do każdej ? płaszczyzn rt, i n_:. wiec r Xr,Ił,.C,7.    rl[A₁.U..C₂].

a 2ateni możemy przyjąć

(3.4)

h -

?=l».b.c] =(A,.n,.C₁]»lAj.Bj.C.J.

Sląd wynika, ze współczynniki kierunkowe a, b. c prostej danej równaniami krawędziowymi (3.3ł wyrażają się wzorami

c,	A. 1	1 A,	c,i	1 A,	b,
	A,l"	1 A;	C: \	^c |a,	B.

PRZYKŁAD 3.2. Napiszemy równania parametryczne prostej / danej równaniami krawędziowymi

m    /J2x-3y-3z=0,

^{l)    |x-6y-6z + 9 = 0.

I sposób Należy znaleźć dowolny punkt P,*(x₀,y_yłz₀)€/ i wektor r=fa.b.c]||/ Aby wyznaczyć punkt P_n prostej / trzeba znaleźć dowolne trzy liczby x_t y. z spełniające układ równań (I). Przyjmując x - 0 w równaniach (11 otrzymujemy układ sprzeczny

y+z=0,

\2y+2z=3,

co oznacza, ze do prostej / nic należy punkt, którego współrzędna x 0.1 Przyjmijmy więc y = 0 Wówczas z równań krawędziowych (l) prostej I otrzymamy układ równań

12x -3z = 0,

1 x -6z+9=0,

którego rozwiązaniem jest para liczb x - 3. z = 2. Zatem punkt P₀ (3,0,2) należy do prostej /.

Wektor [a.b.c] równoległy do prostej / jest równoległy do płaszczyzn ii, : 2x-3y-3z = 0, tt₂: x-6y-6/ + 9 = 0; spełnia więc warunki

[a,b.cl 1 [2,-3, 3], [a,b,cj 111,-6.-6].

Możemy zatem przyjąć

1 a.b.c] = [2.-3,-3| x [ I. -6, -6] = [0,9,-91.

Prosta / ma równania parametryczne

/: x = 3, y=9t, z=2-9i_t teR.

Współczynniki kierunkowe a, b_t c prostej / można oczywiście obliczyć korzy stając bezpośrednio ze wzorów (3.4):

II sposób. Przyjmijmy np. y = t, teR Z równań krawędziowych prostej / otrzymujemy układ dwu równań liniowych

2x-3t-3z=0, x-ót-6z + 9 = 0.

Z tego układu otrzy mujemy X = 3, z = 2 - t, a zatem /: x = 3, y = t, z-2-l, teR.

Otrzymaliśmy lutuj inne niż poprzednio równania parametryczne tej samej prostej / (zob. również uwagę po przykładzie 3.1).    B

Wzajemne położenie dwu prostych w przestrzeni Położenie dwu prostych w przestrzeni będziemy rozpatry wać ze względu na kat między' ty^rmi prosty mi.

Przypomnijmy. 2c miara kipu między prostymi jest lie/l>4 / przedziału

< O.k/2 >

TWIERDZENIE 3.2 Załóżmy, że proste /, ii₂ maju równania parametryczne

A^: y=yó ^{+ b}t^l- ^leR-

z=z.;,+c,t,

0)