Matematyka 2 5

44 I Geometria wialni czrtu u /irzestrzcni

PR7YKLAD 4.5. Obliczymy odległość d punktu P( 2,3.5) od prostej /: \ = 3 - y - 2z (rya* 4.3).

Rys 4.3.

Piszemy najpierw równanie płaszczyzny rr przechodzącej przez punkt I* i prostopadłej do prostej /:

P( 2.3.5 )eir c_> n: A(x-2)+B(y-3)+C(z-5)= 0,

Przyjmując A = 1. obliczamy B = -I, C = 1/2 i otrzymujemy

n: 2x-2y+z-3=U

Następnie znajdujemy punkt Q, który jest punktem wspólnym płaszczyzny n i prostej /. Rozwiązując układ równań

Jx.3-y.22,

[2x-2y+z-3=U

otrzymujemy, że Q=(2.1.1).

Obliczamy odległość punktów P i Q. Jest to szukana odległość punktu P od prostej I:

d= d(P,/)=lPOI=V(2-2)^:+(l-3)^:+(l-5>' =    ■

P R Z Y K I AD 4.6. Obliczymy odległość d prostych równoległych (rys. 4.4):

/,: x+1^2y = *.    /,:| = _y_3 = A|l.

Piszemy równanie płaszczyzny n przechodzącej pr/ez punkt P(-1.0.0) e/| i prostopadłej do prostych /, i

7i: 2x4-y -2z + 2 0.

Rys 4.4

Współrzędne punktu Q, punktu wspólnego płaszczyzny jt i prostej /,, znajdujemy rozwiązując ukłud równań

2x 4 \ + 2z + 2 = 0.

Zatem Q=(-2/9.26/9.-20/9)

Obliczamy odległość punktów P i O- Jest U> szukana odległość prostych /, i /,:

P R Z Y K ł A D 4.7. Obliczymy odległość prostych /,: x | = 2y = z, /_;: x/2 = y -1 = z/6.

Wektory r, = |1.1/2,1] i r_; = [2,1,6] nie są równoległe, zatem proste /, i nic są równoległe.

Piszemy równanie płaszczyzny ^ zawierającej prostą /- i rów noległej do prostej /,

P„(O.I.O)e /; => P„ e 7t Jt: Ax ♦ B(y-l)+Cz = 0, 7r||/_: <=> [A.B.C]1[2,I.6J o 2A + B 16C' = 0,

jt | /, o [A,B,C|X[1,1/2,1] <=•    A+|b+C = 0.

Stąd otrzymujemy

O

7

x y -1 z

tc:    2    1    6 =0,

1    1/2 I

czyli Ti: x-2y -f-2 = 0.

Wybieramy dowolny punkt prostej /,. np. Pc -1,0,0) i obliczamy jego odległość od płaszczyzny ji . Jest to odległość prostych /, i /,;