Matematyka 2 3

32 I. Gw mętna analityczna w przestrzeni

Otrzymany układ trzech równań równoważny jest układowi (3.1). Larwo sprawdzić, żc współrzędne x₀, y_Q. z₀ punkm P„ również spełniają ten układ.

Jeśli a*0, b*0, c*0 (czyli abc*U), to równania parame-tr>^rczne można zapisać w postaci

X- X,

I. ^=1.

7-7,

= t,

t € R ,

skąd otrzymujemy

^ ij    /•    *    _ y yp _ ^z ^

a    b c

Równania (3.2) nazywamy równaniami kierunkowymi prostej.

Dla przykładu; 1) Prosta / przechodząca przez punkt P„( 1.2.3) i równoległa do wektora r = [4.3.-1J ma równania parametryczne /: x=l+4t, y=2+3t. 7=3-1, leR.

Ponieważ wszystkie współrzędne wektora r są różne od zera. więc prosta ta ma również równania kierunkowe

/ *-1 . y~² - 7-3 4    3    -1 *

2)    Prosta / przechodząca przez punkt P, (-1.2,3) i równoległa do osi 0x ma równania parametryczne

l: x=—l-H, y=2, z=3, teR.

ponieważ wektorem równoległym do tej prostej jest wersor osi 0x: r = i =| 1.0.0] Dla lej prostej nie istnieją równania kierunkowe, gdyż me wszystkie współrzędne wektora r są różne od zera

3)    Oś 0x ma równania parametryczne

x=t, y=0, z=0, i eR.

gdyż jest to prosta przechodząca przez punkt 0(0,0,0) i równoległa do wektora r = i =[1,0.0].

Analogicznie: równania

x=0. y=t, z=0. teR.

są równaniami parametrycznymi osi Oy. a równania

x=0, y=0, z=t, teR. są równaniami parametrycznymi osi Oz.

PRZYKŁAD 3.1 (równania prostej przechodzącej przez dwa punkty). Napiszemy równania parametryczne prostej / przechodzącej przez, punkty P(-l,3.0) i Q(4.5,7).

Punkt P(-1,3,0) należy do prostej /, zatem

/: x--l tai. y=3+bt. z=et. teR. gdzie wektor r = [a,b.c| jest dowolnym wektorem równoległym do prostej / Zatem możemy przyjąć r = PQ, czyli

[a.b,c] = [5,2,7].

Prosta / ma więc równania parametryczne

/:x = -l + 5t, y=3+2t, z=7t, teR.    ■

U w u g a Jeśli w tym przykładzie przyjmiemy (x₀.y₀.z₀) = (4,5,7), r-QP, to otrzymamy inne równania parametryczne tej samej prostej:

/; x-4 5t, y=5-2l,    teR

Widzimy wiec. zc linia może być opisana rożnymi rówTuiniami parametrycznymi

RÓWNANIA KRAWĘDZIOWE PROSTEJ Niech / oznacza prostą, która jest krawędzią przecięcia dwu nierównoległych płaszczyzn (ry s 3.2)

rr,: A,x + B,y-t-C.z-f D, =0, n_z: A,x +B,y+ C_:z+D_; = 0.

Rys 3.2.

Punkt P(x,y_f7.)t/ wtedy i tylko wtedy, gdy Pen, i Pen-,, czyli wtedv i tylko wtedy, gdy liczby x, y, z spełniają układ równań liniowych