116000

Otrzymany układ można zapisać równoważnie w postaci (112)

12*2 + ^al2^X2 + '	*’ n^xn
^:22*2 d" ^a23^X3	*• + *2«*n
n2^x2 + «n3*3 +	’“ + ^ann^xn

*1 = Pi + a — @2 + ^a

= £„+«

gdzie:

	h. ^ail'	^au =	^ait
oraz
«t. =	0	dla i =	■A
Przyjmując
	«11	^a\2	^au.
a —	«21	^aZ2 -	^a2n
	®nl	^an2 -	^ann

dla t±j t.j = 1,2,—.n.

oraz

układ 1.1.2 można zapisać w postaci macierzowej jako x = /? 4- a • x

Otrzymaną równość wykorzystuje się do uzyskania kolejnych przybliżeń rozwiązania układu. W tym celu, jako rozwiązanie początkowe, obiera się dowolny wektor (np. wektor zerowy) i oblicza się kolejne iteracje _xCO = £+«.*«»

(przybliżenie pierwsze),

= /? + a •

(przybliżenie drugie) itd. Stąd ogólny wzór iteracyjny (1.1.3)

_XC*+D = /? + *.*<*>

Kolejne przybliżenia x x , ... , x , ... utworzą ciąg wektorów. Jeżeli istnieje granica tego ciągu lim,,.,,*, x^^k) = x_% wtedy ^x jest rozwiązaniem układu równań liniowych. Aby powyższa granica istniała, to ciąg wektorów x^(0>, x⁽¹⁾, ... musi być ciągiem zbieżnym. Zbieżność tego ciągu jest równoważna zbieżności metody iteracyjnej.

2