Matematyka 2
3

12 I Itetime/ria awlit\<znu w przestrzeni

Jeśli b, *U. b, *0. b_r *U. to warunek (1) można zapisać w łatwiejszej do zapamiętania posluei (T).

Z definicji długości iloczynu wektorowego wektorów niezero-wych mamy

|a x b|

sin4 a,b) --.

PHM

Uwzględniając w powyższym wzór na długość wektorów otrzymujemy tezę (2).

t' w u g a . Przyjmijmy dodatkową umowę, zc

i/n żc proporcju la jest prawdziwa rówme2 wtedy, gdy a, - a -0 dia dowolnych h,.b oraz gdy a,-0, a_v -0 dla b,-0 i dowolnego b,. Wówczas otrzymujemy łatwy do zapamiętania warunek (]') równoległości dowolnych wektorów

Na przykład wektory |0.3,6J, (0.1.2) są równolegle, gdyż spełniają warunek (I*) równoległości wektorów (przy tej dodatkowej umowie)

PRZYKŁAD 13. Znajdziemy wektor prostopadły do wektorów a = [4.2,3] i b - [2.6.4].

Wektorem prostopadłym do wektorów ii i b jest na przykład iloczyn wektorowy tych wektorów:

w — a x b =

1    j k 4 2 3

2    6 4

-lOi 10 j+20k =[-10,-10,20],

Ponieważ wektory [10,10.-20]. [-1,-1.2], [-2.-2.4J.

[1,1, 2| są równoległe do wektora w, więc są one również prostopadle do wektorów a i b.    ■

PR7YKLAD 1.4. Dobierzemy parametr m tak, by wektory |m-2,2,5], |nr - 12,m.l0] były równoległe.

Wektory te są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współrzędne są proporcjonalne Ponieważ

2    5

— = 777 C=> (

m 10 m‘ -12

m-2    2    5 „ , m-2

m* 12

•=• |(m = 4 v m = -2) a m = 4],

więc wektory te są równoległe dla m = 4.    ■

PRZYKŁAD 1.5. Obliczmy pole S trójkąta o wierzchołkach A(3,2,-l), R(2,4,0), C(5,7,0)

Pole S trójkąta ..zbudowanego" na wektorach

AB*=[-1,2,1],    AC = [2.5,1]

jest równe połowie pola równoległoboku „zbudowanego" na tych wektorach; pole S jest więc równe połowie długości iloczynu wektorowego tych wektorów Mamy więc

s=1||ab* ac]i=|Vh.

gdyż

AB ^ AC = 1-1 2

= -3i +3 j - 9k, ARx AC = ^94-94-81 =3VI1

PRZYKŁAD 1.6. Pokażemy, że punkty: P( 1,2,1), Q| 3,4,5), R(4,5,7) leżą nu jednej prostej.

W tym celu wystarczy pokazać, że PQ | PR. Obliczymy współrzędne tych wektorów:

PO = [2.2.4],    PR=[3,3.6|.

Ponieważ współrzędne tych wektorów są proporcjonalne

2    2    4

__    __    3    3    6’

więc wektory PQ i PR są równoległe Punkty P. Q, R leżą na jednej prostej    H

ILOCZYN MIESZANY. Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów u.b.e w układzie Oxvz nazywamy liczbę (a, b. c) określoną w zorem

def _    _

(a.b.ć) - (axb)oc.

Iloc/yn mies/any jest lic/hą. gdv> 5xb jest wektorem, zaś iloczyn skalamy *ekiorow a*b oraz ć jesi liczbą.