AM6

2008-12-14

ANALIZA MATEMATYCZNA I, Informatyka i Ekonometria rok I Lista 6

Elementy topologii - przestrzenie metryczne

1. Niech X będzie zbiorem niepustym, zaś funkcja d : X x X —* R określona w następujący sposób:

Pokaż, że d jest metryką w zbiorze X. Uwaga: Metryka ta nazywa się metryką dyskretną albo metryką 0-1.

^2^) Sprawdź, czy funkcja d : X x X —» R jest metryką w zbiorze X

(a)    X = R:    d(x, y) = |r² - y²|

(b) X = R;    d(x. y) = \x — 2y\

(c)    X — R;    d(x. y) = | sin x — sin y|

3.    Pokaż, że funkcja d : X x X —> R jest metryką w zbiorze X:

(a)    X = N; d(n,m) =

(b)    X = R²: d((x_uyi), (x₂,Sfe)) = ki - x₂\ + |t/i - m\

(c)    X = R²:    d((xi,y_t), (x₂.yi))    = max{|xi    - x₂\; |?/i    - y>\]

(d)    X = R²;    d((xi,ł/i),(l2:!A2))    = V(^xi    ~    *2)²    +    (j/i    - ifc)²

4.    Narysuj kule:

(a)    B(l, 1) w metryce z zadania 3a;

(b)    B((0> 0), 1) w metrykach z zadania 3b, 3c, 3d.

5.    Wyznacz punkty skupienia zbioru A = {ra + j : n, k 6 N} w przestrzeni metrycznej £'.

6.    Wykaż. że zbiór A = {(a;, y) 6 R² : |x| + |j/| < 1} jest otwarty w przestrzeni metrycznej £².

7. xNieeh X = [a, b\ C R i d{x,y) — |x — y\ dla .r, y 6 X. Podaj przykłady kul w (X, d), które są:

(a)    otwarte w X i otwarte w R;

(b)    otwarte w X i domknięte w R;

(c)    otwarte w X, ale nie są ani otwarte, ani domknięte w R.

1