AM3

2008-10-17

ANALIZA MATEMATYCZNA I, Informatyka i Ekonometria rok I Lista 3

Ciąg?, liczbowe

1. Zbadaj ograniczoność ciągu o wyrazie ogólnym:,

. .    c -- ^

X)a„ = y/H-v'« + 2    ;r^b^=^7

J d) o,, = ■

n² + 1

\J On — 1000 — yfn

\j

c) a_n = v^n⁴ + 4 /) Oti = &2ⁿ + 3“

2. Zbadaj monotomcznosć ciągu o wyrazie ogólnym:

^ i ^    _ \y

■’"«)«.=    4,-.- _2n+3„    „2.,„ ₊ 2

^    «)a„ = \/n² + 4rt - n    /fa„ = (1 + -p)(l + ~₂) ■ ■ ■ (1 + ^i)

2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹

6*) On ^;

3. Czy można powiedzieć ile wynosi hm^dn \- lim^b_n wiedząc, że ^lim (o_n 4- b_n) — 0? j 4. Niech lim a„ - b_JŁ = 0. Czy można stąd wnioskować, że lim a_n — 0 lub lim b_n — 0? i 5. Ciągi (a_n) i (6, l6. Oblicz granice

5. Ciągi (a_n) i (b_n) są rozbieżne. Co można powiedzieć o zbieżności sumy i iloczynu tych ciągów?

Al litowe.	w a	-4 «n =	\s ZX\ ^an = ^2" +7T^n
}{ ^ ^Uf^L	U A	^c) °» = ^5$T	^Un — 2~^n COS YITT
	^ A	y/ttk-n	c\ _ (n+l)!-n! N2 a (TT+TjnpJS

\y

~\S s) <b> =    .

V 3 i) On = (^)³^

- k)o„ = ^

“ f*,

n| Z °) °«

W / q)«„ = ^t

{ A Xf<b> = V«+ 5 - n

7. Korzystając z własności ciągu arytmetycznego lub ciągu geometrycznego oblicz granice:

1 +3 + ... + (2n - 1)

n > 2 ^ d J h) a„ — (l — 4*)

3    *) °n — 0 + 2n+3y

n)a_n = (-n²~l) y) \t_A = ffcfk

j/    /„*+i\²"²⁺¹

\^3 /»)«. = (-£-)

y)    ²

\) ^ t) On = (jH+l)

J * W«n = ^

u) u,! = V2 • ^2 - — • ²\/2

_c) ^ = l±i±E±lLL±ł

^{1 +} 3 ⁺ 3*⁺*⁺^

2 + 4 + ... 2n

8.    Zbadaj istnienie granic ciągów:

a) «n = f - [f]    b) o,. = Vl I 2»<-D"

c) o„ = (cos

9.    Wyznacz granicę dolną i górna następujących ciągów:

aj On = (-l)ⁿ[(-1)“ + 1]    b) o„ = (1 + i)ⁿ • (-1)" + sin tf

o-2-