AM7

' 2009.01-12

ANALIZA MATEMATYCZNA 1, Informatyka i Ekonometria rok I

Lista 7

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

XJ

1. Uzasadnij, że równanie c^x = j ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale (A, 1).

2. Oblicz /. definicji pochodną funkcji:

\J a) f(x) =    *>) f(^x) = si'ix, e)/(x) - ln.r, <l) f[r) = a*, a > 0

3. Oblicz pochodną funkcji:

•O 1) /(x) = (2x 4- 3x’)(5 4- 7x³)    \ 2) /(*) = ^    ^ 3) /(*) = (1 + *)*

V a) /(i ) = 2*i

f SU$ ) = eas(2x* - 3r + 1)

^ l)/(x)=e-²'

^ 7)/(u.)=c^-'

10) /(z:) = (2j² — 1 )³

\y 13) f(x) = sin Iz

10) /(x) = Iii (z³ - sin z)

\j w) /<x) = ys

V/ 22)/(x) = «**"*

\j 11) /(x) = In(cosz)

u) /to =

17) /(x) = cosx sin 2x

20) /(*) = ln (J?J)

23) /(x) - sin* z³

f>) f(x) = n/24~?

9) /(r) =; Zry/TTTr.

2)/(*) = }rŚ

V 15) /(.r) = (In sin z)

\/ 18)/(r) = xV^^ł3

^ 21) /(*) = JŹP ^ 24) f(x) = Iii (Iii (Iii x))

Oblicz |>ochodną /'(0) funkcji /(z) = x(x - l)(x - 2)... (x - 1000). 5. Oblicz pochodną funkcji

»)/(*>«•* b)/(*)-<**>

G. Zbadaj różniczkowalność funkcji:

&7(x) = W b) /(*) = {

(x-3)²(x-4)

0

*€]3,4(

x^)3,4[

7. Niech / : R4R będzie określona następująco:

X' ax 4- 6

x < 0 x > 0

1>)

m - {

sin

aa? 4-1.

x < 0 x > 0

Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja / jest różniczkowalna na R?

/&. Dana jest funkcja y(x) = &x*-bx^Ą -24x³4*2x-l. Wykaż z twierdzenia Hollo’n, że w przedziale J — 2,3( istnieje pierwiastek równania y(x) = 0.

9. Wykaż nierówności:

M < I" l < TT ^<lla 0<^<«

|sinx - siny| < |x - y| dla x,y € R

10.    Stosując twierdzenie Caucliy'cgo o wartości średniej dowieść, że dla x > 0: 1 — y < cosz.

11.    Wykaż, nicrównuści:

(a) Iii x >    dla * > 1

(1>) J(e* + e") > 1 + y dtó * € R

12.    Wyznacz <-k.sl.remn funkcji:

«)/(*) = (*’ + *)«■*’ =

13.    Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) = x^p+l - z* na pr/.cdzialc [0; 1], gdzie /> > 0 jest ustaloną liczbą rzeczywistą.

M. Znaleźć asymptoly krzywej

a) /(z) =

x² + 2

b) /(*) =

x — 3 '

10. Zbadaj przebieg zmienności i narysuj wykres funkcji:

a)/(x) = xe“^z, b)/(x) =

f- x

(x-i r

<3. Zbadaj możliwość stosowania reguł de 1'IIospitala do obliczania granic:

.    ... x + sinx .... X² sinć y

Nl a) hm —7-y-:    b) lim .    . V

t->oox + COSZ

*-♦0 sin3x

17. Oblicz granice:

1) lim

- 1

1

V

Ni

\j

2) lim

sinx x - 1

11) lim

c* - c~^z - 2x

*-»o x —sinz.

o ln(2x- 1)

'nJ 3) litu (---t~t)

<    4) lim (x+l)²ln(x

^ ⁵> Jid^{1 +} ?)‘

\/ 6) lin* (—:---

z->0\xSIIIX x^Ł/

X / 7) lim X**"*

x¹⁰ - 10x + 9

--- 8) lim —7—--—

x-.i z⁵ — 5z + 4

9)) lim (x ł 1)^*

X-IOO

~V 10) lim xV“^?

12)    lim ( ——r - p-) i-*i \x — 1 luz/

13)    lim x(c* - 1)

x-*oo

14)    lim (x - 3)c*^

*-»3»

15) lim

ln(l + x)

*-»o

2 \ x

16)    lim fi--)

x-.2- \ X/

17)    lim z

x-*0*

18)    lim Jxlnx

z-*0+

Insm2x

19)    hm -—:-

x-»o+ Iii suix

/lnx c‘ \

20 lim (---_:—)

*-»o» \ x sini/

JO

Ł,

2