strona1 by kar

23 maja 1998 Analiza Matematyczna dla Ekonomistów 1

Kolokwium 4

23 maja 1998 Analiza Matematyczna dla Ekonomistów 1

f

Zadanie 1. (10 punktów) Zbadaj zbieżność całki niewłaściwej /

Jo

arci an{ x */i)

dx. Wska

zówka: Zastanów się ile wynoszą granice lim*

oraz lim*;„_+oc arctan x ?

Zadanie 2. (10 punktów) W bryle ograniczonej powierzchniami 9 — x² — y² = z oraz ; = 0 wycięto walec o średnicy 2. którego oś symetrii pokrywa się z osią z. Oblicz objętość tak powstałej bryły. (Dla tych dla których powyższy opis jest niejednoznaczny i nieprecyzjny: ta bryła to {(x, y, x) € IR³ : 0 < x < 9 — x² — y², oraz x² + y² > 4}.)

Zadanie 3. (10 punktów) Niech f(x. y) = -dla i/O. Czv można tak określić

x

w-artości funkcji / na osi y tak by / była ciągła na IR².

Zadanie 4. Niech f(x,y) = xyexp(x² — y).

(a)    (3 punkty) Niech E = {(x, t/) 6 IR² ; x > 0, x — 1 < y < x² — x). Czy E jest zwarty, wypukły, spójny ?

(b)    (10 punktów) Znajdź maksimum i minimum / na zbiorze E.

(c)    (4 punkty) Znajdź równanie przestrzeni stycznej do wykresu funkcji / w punkcie

(\/2,2,2V2).

(d)    (3 punkty) Oblicz pochodną kierunkową / w punkcie (a/2, 2) w kierunku wektora [ó,3j.

Zadanie 5 (nieobowiązkowe), (bonus za dodatkowe 10 punktów) Niech / : IR —»■ IR będzie funkcją ciągłą i niech F : IR² —► IR będzie określona następująco: F(x,y) =

Ixy^+y f(^s)^^s- Czy F jest różniczkowalna w każdym punkcie (x,y) g IR² ? Odpowiedź uzasadnij. Oblicz pochodną F w tych punktach w których pochodna istnieje.