strona6 by kar

6 Analiza Matematyczna dla Ekonomistów 19 maja 1995

Kolokwium 4

Imię i Nazwisko:    A

Zadanie 1. Niech A = {(z, y. z) € IR³ : 0 < x² + y² + z² < 1, x² + y² > z}. Czy zbiór A jest otwarty, domknięty, ograniczony, zwarty, spójny, wypukły ? Odpowiedź uzasadnij.

iV

Zadanie 2. Niech f(x,y) = (——-,sin(r + y³)) dla (x,y) / (0,0). Czy można tak określić wartość /(0,0) by funkcja / była ciągła na IR² ? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 3. Niech /(z,y) = _e-2i³+*s+9³_

(a)    Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu / w punkcie (1,1,1).

(b)    Wyznacz kierunek w wzdłuż którego / rośnie najszybciej w punkcie (1,1).

(c)    Niech g(t) = (t³ -f 2 sin t + 1, cos(t²) -f 5f). Oblicz pochodną (/ o y)'(0).

(d)    Oblicz maksimum i minimum / na E = {(z,y) : x² < y < 1}.

(e)    Czy f jest ograniczona na ]R² ?

Kolokwium 4

Imię i Nazwisko:    B

Zadanie 1* Niech A = {(z.y.z) £ IR³ : 0 < x² -f y² < z, x + y + z < 2}. Czy zbiór A jest otwarty, domknięty, ograniczony, zwarty, spójny, wypukły ? Odpowiedź uzasadnij.

ry²

Zadanie 2. Niech /(z,y) = (•—r--,sin(ln(l + z² + y²)) dla (z,y) ^ (0,0). Czy można

2z^ + y^Ł

tak określić wartość /(0,0) by funkcja / była ciągła na IR² ? Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 3. Niech f(x,y) = e^x2+xy~^2y2.

(a)    Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu f w punkcie (1,1,1).

(b)    Wyznacz kierunek w wzdłuż którego / rośnie najszybciej w punkcie (1,1).

(c)    Niech y(f) = (t° + 3f + l,sin(t²) + e‘). Oblicz pochodną (/ o y)'(0).

(d)    Oblicz maksimum i minimum / na E = {(z, y) : y² < x < 1}.

(e)    Czy / jest ograniczona na IR² ?