kola1

1.

-Nj 2-

o ³-

<

'X) 4. ^ 5.

Analiza matematyczna I - Informatyka i Ekonometria Kolokwium 1, 17. 11. 2008

Sprawdź, czy relacja x7Zy |a: — y\ < 1 jest relacją równoważności w zbiorze IR x R.

Zbadaj, czy relacja !R x !R d 7Ł = {(x\$r) ■' V — '/■ix — x²} jest odwzorowaniem przestrzeni & w R. Jeśli nie, to jaki jest maksymalny zbiór X₀ C R, na. którym ta relacja określa, odwzorowanie.

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność

f^k-k\ = (n + 1)! - 1

Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x 4- -J na zbiorze [2, I oo)

Czy funkcja / : {0. 4-co) —> (0,1), f{x) = ^ ^X ^ jest bijekcją? Jeśli tak, znajdź odwzorowanie odwrotne.

^Vl.

v,

3.

XI ⁴-

V 5.

Analiza matematyczna I - Informatyka i Ekonometria Kolokwium 1 - poprawa, 05. 12. 2008

Sprawdź, czy relacja xfly z⁶ = y^:i jest relacją równoważności w zbiorze R x R.

Zbadaj, czy relacja IR x IR D 71 = {(x, y) : |j/| - x = 3} jest odwzorowaniem przestrzeni R w R. Udowodnij, że liczba 10^Tl — 4 jest. podzielna przez 6 dla dowolnego n € N.

Zbadaj, czy funkcja / : [0,1] —* [-3,0], f{x) = 1 - 2|a; - 2| jest różnowartościowościowa i ’na^:? Znajdź odwzorowanie odwrotne.

Wyznacz <70/. jeśli f, g :

/(*) =

► R są funkcjami zadanymi wzorami:

0 dla x > 0    , .

on . _n '    9(x)

—2 dla x < 0

dla x > 1 dla x < 1

Analiza matematyczna I - Informatyka i Ekonometria Kolokwium 2 - poprawkowe, 06. 03. 2009

sin² n 4- 4rc ⁰

1.    (5p.) Oblicz granicę ciągu a_n

2.    (3 x 5p.) Zbadaj zbieżność szeregów. Dla szeregów naprzemiennych określ rodzaj zbieżności.

3.    (3 x 5p.) Oblicz granice funkcji

3n - 1

a) lim -

b) lim

*-3 V^TI - 2

4. (7p.) Dobierz parametr a tak, aby funkcja f(x)

f—V

> V1 + X )

c) lim -

1 4- ln(:r - 2) 2 x- a

była ciągła w całej dziedzinie. 5. (8p.) Zbadaj, czy odwzorowanie d : R+ x R₊ -* [0,oo) zadane wzorem d(x,y) = |ln -j jest metryką.