MATEMATYKA076

■■ i liii !i ■

■■ i liii !i ■

144

III Rachunek różniczkowy

Funkcja

x — I X+1

f(x) = arctgx-arctg

jest funkcją określoną na zbiorze D = (-oo,-1)vj(-1,+oo) i w każdym punkcie swej dziedziny ma pochodną, przy czym

f'(x) = —--^--^-y-0 dla xeD

I+x² ₁₊/X_il₎:(x + I)^{! v}x+r

Oznacza to, że funkcja f jest stała na przedziale (—00,—I) oraz na przedziale (-1,+oc).

Ponieważ f(0) = arctg0-arctg(-I) = 7t/4, więc f(x) = tc/4 dla każdego x e(-l,+oo).

Podobnie, obliczając wartość funkcji f w dowolnie wybranym punkcie x₀ e(-oo,-l) otrzymamy wartość tej funkcji w każdym punkcie tego przedziału. Na przykład dla x₀ = -2 mamy: f(—2) — arctg(-2) - arctg3.

I tu mamy kłopot: jak stwierdzić, że otrzymana liczba jest równa -3x/4 ? Postąpimy więc inaczej: ponieważ f(x) = c dla każdego x€(-oo,-l), więc lim f(x)=c. Granicę tę łatwo obliczamy:

X — 1

lim f(x)= lim (arctgx-arctg—r) =

x- >-«o    «-f «    X +1

= {arctg(-oc) -arctgl} ■-» ——.

Zatem f(x) = -3x/4 dla każdego x e(—00,— 1). Równie łatwo możemy znaleźć stałą c obliczając granicę lim f(x).    ■

Wzór taylora i maclauriina.

TWIERDZENIE TAYLORA Jeżeli funkcja f ma ciągle pochodne do rzędu n - I włącznie na przedziale domkniętym o końcach x i x₀ ( x < x₀ lub x > x₀ ) oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c, pośredni między x i x₀ , że

(4 1) f(x)«f(x.)₊^(x-x.)₊- ₊C^(x-x.r ₊ I^M(x-x.)'.

4. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

145

Powyższy wzór nazywamy wzorem Taylora, a ostatni jego składnik R„(^x) = ^-^(^x-Xo)"

nazywamy resztą wzoru Taylora w postaci Lagrangc'a.

Każdy punkt c, pośredni między- x i x₀, może być zapisany w

postaci

c=x_o+0(x-x_o),

gdzie 0 jest pewną liczbą z przedziału (OJ). Dodajmy, że przy ustalonej funkcji f i ustalonym punkcie x₀, punkt c zależy-od n i od x.

Twierdzenie Taylora, przy- trochę mocniejszy ch założeniach, może być sformułow-anc jak następuje:

Jeżeli funkcja f jest n-krolnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x₀ i x jest różnym od x₀ punktem tego otoczenia, to istnieje taki punkt c, /wredni między x i x₀, że zachodzi wzór (4.1).

Przy oznaczeniach: x - x₀ = Ax oraz f(x) - f(x₀) = Af wzór Taylora można napisać w postaci

n>o_Ax+...₊£^)_(Axrl+f^M

(Ax)"

f(x₀ +Ax) = f(x₀) + lub

_f df(x₀,Ax) d^nlf(x_Q> Ax) d°f(c,Ax)

1!    (n-1)!    n!

Szczególne znaczenie ma wzór Taylora w przypadku gdy x₀ = 0. Wzór (4 1) przyjmuje wówczas postać

lub

(4.2) f(_X) = f(0) ₊ ^x₊...₊g5x«-*₊qMx», ()<0<l,

i nosi nazwę wzoru Maclaurina.

Pomijając we wzorze (4.2) resztę R_n(x) = “-f^(n>(0x)xⁿ otrzymujemy przybliżenie (aproksymację) funkcji f za pomocą wielomianu:

1!

(n — 1)!

n!