3149488825

Tak otrzymany układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi i\ oraz z’2 zawierający jedno niejednorodne równanie różniczkowe pierwszego rzędu i jedno niejednorodne równanie całkowe można stosunkowo łatwo rozwiązać przy pomocy rachunku operatorowego natomiast rozwiązanie metodami klasycznego podstawiania byłoby o wiele bardziej pracochłonne.

2. Wybrane zagadnienia z podstaw rachunku operatorowego 2.1. Operatorowa metoda rozwiązywania równań różniczkowych

Rachunek operatorowy oparty na przekształceniach całkowych polega na transformacji równania różniczkowego z dziedziny funkcji czasu f(t) (dziedzina oryginałów) do dziedziny funkcji zmiennej zespolonej F(s) (dziedzina transformat). W wyniku stosunkowo prostej operacji transformacji równania różniczkowego przeprowadzanej przy pomocy tablicy transformat wykorzystywanej w sposób podobny do słownika obcojęzycznego otrzymuje się równanie algebraiczne, z którego metodami algebraicznymi można obliczyć transmitancję układu opisanego równaniem różniczkowym pozwalającą łatwo obliczyć m. in. charakterystyki częstotliwościowe układu. Z równania transmitancji można również łatwo obliczyć wartości graniczne rozwiązania w dziedzinie funkcji czasu ( dla t = 0 oraz dla t = 00). Jeżeli jest konieczna znajomość analitycznej postaci rozwiązania równania różniczkowego w dziedzinie funkcji czasu to najpierw oblicza się poszukiwaną transformatę rozwiązania równania różniczkowego i potem przeprowadza się dość pracochłonną operację znajdowania odwrotnej transformacji tej transformaty. Znajomość tego rozwiązania jest konieczna m. in. do obliczenia przebiegu charakterystyk czasowych układu.

Tok postępowania w czasie rozwiązywania równań różniczkowych opisujących dynamikę układu zilustrowano na rysunku. Tor prosty górny (od równania w prawo do rozwiązania) ilustruje działania wykonywane w czasie rozwiązywania równania różniczkowego klasyczną metodą podstawiania natomiast tor dolny z pętlą ilustruje wykorzystanie do tego celu rachunku operatorowego. W przypadku równań różniczkowych wyższego rzędu, a w szczególności w przypadku układu opisanego rozbudowanymi układami równań różniczkowych zwyczajnych rachunek operatorowy pozwala znacznie uprościć obliczenia i znacząco zmniejszyć nakład czasu niezbędnego do uzyskania rozwiązania.

18