073 2

144 VIII. Algebra

Z drugiej strony, łatwo otrzymać równanie

(u +b)r = S.

Mamy układ dwóch równań z niewiadomymi a i b. Podnosząc pierwsze równanie d₀ kwadratu: a²(b²-a²) = S², i podstawiając b = Sjr-a, po uporządkowaniu otrzymujemy równanie stopnia trzeciego:

, S , Sr

a³--a²+—= 0.

2 r    2

Po podstawieniu S = 12 i r=l mamy równanie

a³—6a² +6 = 0.

Po sprawdzeniu, że równanie to nie ma pierwiastków całkowitych, sprowadzamy j_e do postaci x³+px+q =0 przez podstawienie a=x+2 i otrzymujemy równanie

x³ —12x —10=0.

Obliczamy wyróżnik

^=(-¥)³+(-")²=-³⁹-

Wzór (8.3.10) daje

cosa = 0,625, skąd a=51°18'.

Ze wzorów (8.3.9) obliczamy:

1)    Xi = 4 cos 17°06' = 4(0,9557) = 3,823, skąd a = 5,823 i fc = 6,177.

2)    x₂ = 4cos 137°06' = 4(—0,6032)=—2,413, skąd wypada a<0.

3)    x₃ = 4 cos 257°06' = 4(-0,2232)= -0,893, skąd <2= 1,107 i b = 10,893.

Zadanie ma dwa rozwiązania.

Zadanie 8.63. Obliczyć, jak głęboko zanurza się w wodzie drewniana kula o promieniu r= 12 cm i ciężarze właściwym y = 0,6 G/cm³ (dla wody przyjąć ciężar właściwy 1 G.cra³)

Rozwiązanie. Zgodnie z prawem Archimedesa zanurzona część pływającej kuii wypiera taką ilość wody, której ciężar równa się ciężarowi całej kuli. Ciężar kuli wynosi \nr³y i tyleż ma wynosić ciężar wypartej wody.

Przypuśćmy, że kula jest zanurzona na głębokość h, tzn. zanurzona część kuli j^e-' odcinkiem kulistym o strzałce h. Objętość takiego odcinka kuli wynosi \nh²{2>r—h), aP° nieważ ciężar właściwy wody jest 1 G/cm³, przeto musi być spełnione równanie

ijtr³y=|jt/i²(3r-/t),

gdzie h jest niewiadomą. Równanie to można napisać w postaci

h³ — 3rh² +4r³y = 0.

Otrzymaliśmy równanie stopnia trzeciego. Aby doprowadzić je do postaci x³+/>•*+? dokonujemy podstawienia h=x + r i otrzymujemy równanie

x³ — 3r²x +2r³ (2y — 1) = 0.

Wyróżnik jest równy A=4yr⁶(y— 1), a ponieważ y = 0,6, przeto zl = — 0,36r⁶. Mamy przypadek, ^A<0-

^v Zastosujemy trygonometryczną metodę rozwiązania równania. Według wzoru (8.3.10)

6r-0,2

-6 r²V7

mamy

cosa =

= -0,2, skąd a= 101°32'.

j^_a podstawie wzoru (8.3.9) otrzymujemy

1)    Xi=2r cos 33°51' = 1,661 Or i /t, =2,6610r; rozwiązanie to nie nadaje się.

2)    x₂=2rcos 153°51'= — l,7952r, skąd h₂ = -0,7952r; rozwiązanie to również nie nadaje się.

3)    jc₃ = 3r cos 273°51' = 0,1332, skąd /t₃ = l,1332r. Podstawiając r=12cm otrzymujemy głębokość zanurzenia h = 13,6.

Zadania

Rozwiązać równania (zad. 8.64-8.70):

8.64. x³-12x4-8 = 0.    8.65. x³4-3x-2 = 0.

8.66. x³-71x 4-219 = 0.    8.67. x³-9x-6_v^/3 = 0.

8.68. x³4-6x 4-4 = 0.    8.69. x³ - 588x-2744 = 0.

Wskazówka. Zauważmy, że 588 = 3-14², 2744= 14³.

8.70. x³-5x4-6 72 = 0.