DSC07360

138

Geometria analityczna w przestrzeni

PP= (1 — x, —y, —3 — z)

Wektor PP jest prostopadły do wektora 8 = (2, -1,2) wtedy i tylko wtedy, gdy P P o 0 = 0. Współrzędne punktu P spełniają zatem układ równań

i gw

<2 -^1 2 ’

{ (1 -z,-p,-3-e)o(2,—1,2) = 0.

Układ ten jest równoważny układowi

-* -i 2y • = £?> 2y + * =    1,

-2x + y - 2z = 4.

—Zatem

Rozwiązaniem lego układu jest trójka liczb x = — y = —,

o y

2 10 9’ 9 ’

II sposób. Szukany rzut P jest punktem, w którym prosta l przecina płaszczyznę ir prostopadłą do niej i przechodzącą przez punkt P.

Równanie płaszczyzny ma postać

U 2x-y + 2z+4 = 0.

Prostą / przedatswiamy w postaci parametrycznej

l: * = 2ł,y= l-t,z = —l + 2l, gdzie t S R. Wapół rządne punktu Ć = (21,1 -1,-1 + 21) wyznaczamy z zależności 2(24) - (1 -1) + 2(H + 2t) + 4 = 0.

Przykłady

139

Siad 9( + 1 = O, czyli t = -i, więc P =    y,--y) .

b) I sposób. Punkt P G rr jest rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę rr, jeżeli

spełniony jest warunek P P\| ii, gdzie ń oznacza wektor normalny płaszczyzny ir. Niech

P' = [x,y,z). Wtedy P P= (—x, —y, 1 — z). Wektor P P jest równoległy do wektora

fi = (1,1, -2) wtedy i tylko wtedy, gdy P'P= k- n dla pewnego k 6 R\{0}. Współrzędne punktu P spełniają zatem układ równań

Y x + y-2z + 4 = 0,

1    1 5\

3’ 3’3y'

1 Z£ = Zl - ¹

l 1    1    -2 '

Układ ten jest równoważny układowi

^łf x + y - 2z = -4,

< *- V -    0,

« ||" 21-

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb

^{X =} ~3'^{V =} ~3'^S=3- ^Zat*^m

irt®

II sposób Niech 1 oznacza prostą prostopadłą do płaszczyzny ir i przechodzącą przez punkt P. Równanie parametryczne tej prostej ma postać

l: x = t,y = t, z = 1 — 2t, gdzie t 6 R.

Szukany rzut P jest punktem wspólnym prostej l i płaszczyzny ir. Jego współrzędne (t, i, 1 — 2t) wstawiamy do równania płaszczyzny »r otrzymując t +1 - 2(1 - 2t) + 4 = 0. Siad Ot + 2 = 0, więc t = -i. Zatem P =    •

c) Rzut prostej 1 na płaszczyznę rr wyznaczymy w następujący sposób. Na prostej l wybieramy dwa dowolne punkty A i B. Następnie znajdujemy rzuty prostokątne A i B tych punktów na płaszczyznę ir. Rzutem prostokątnym prostej l na płaszczyznę ff będzie wtedy prosta l przechodząca przez punkty A i B . Dla uproszczenia obliczeń wygodnie jest przyjąć, że A jest punktem przecięcia prostej l i płaszczyzny ff. Wtedy A = A. Niech A = (x,y,z).

Współrzędna punktu A spełniają układ równań

x = y = z, x + 2y + 3z — 8 = 0.