DSC07348

5

Geometria analityczna w przestrzeni

Przykłady

Wektory

• Przykład 5.1

Obliczyć długości podanych wektorów:

^a) 5= (1,-71,^5); b) PQ, gdzie P = (1,2,3), Q = (4,6,15).

I⁵I — \/x⁵7y⁵"+l*.

^{151 =} \A* + (-^)^ł + (>/6)* = y/9 = 3.

=    B =    ^wyr8Żn'

Zatem    ^ ^    “*»)* + Cltt - ył)^a + (xj - n)^a.

Przykłady

115

• Przykład 5.2

Równoległościan jest rozpięty na_ wektorach 5, 6, c. Wyrazić przekątne tego rów-nolcglościanu przez wektory a, 6, c.

Rozwiązanie

Niecił u =BH, v =EC, iu =AG i z =DF oznaczają przekątne równoległośdanu rozpiętego na wektorach 5, 6, S (rysunek). Aby nie zaciemniać rysunku zaznaczono na nim tylko dwie przekątne Si ii. Z faktu, że łamana ABHEA jest zamknięta wynika równość 3+5 = c+6, stąd 5= c + 6 — 5. Podobnie z faktu, że łamana ABCEA jest zamknięta wynika równość 5 + 6 = c + 3, stąd 3=5+6 — c. Z analogicznych rozważań wynika, że trzecia przekątna ui wyraża się wzorem Si = 5 + 6 + 0, zaś czwarta 2 = 5—6+2.

• Przykład 5.3

Znaleźć dowolny wektor u, który z wektorami 5 = (1,2,3), 6 = (6,—4,2) tworzy jednakowe kąty i leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wektory.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy fakt mówiący, że wektor, który jest sumą dwóch wektorów o jednakowych długościach, tworzy z nimi jednakowe kąty i leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wektory. Fakt ten wynika z elementarnych własności rombu. Niech a i b oznaczają wektory jednostkowe równolegle (z zachowaniem zwrotu) odpowiednio do wektorów a i 6 (rysunek). Wtedy

imm____(i.2,_?)____f_i_ 2 _3_\

|5| Vl^a + 2¹ + 3² \y/Ti' y/UJ ' _K'_ 6 _    (6,-4,2)    _ f 3    -2    1 |

|b| y/S¹ + (—4)³ -+2* \y/u'y/WVU,J

Wektor u tworzący jednakowe kąty z wersorami 5,6 , a zatem takie z wektorami 6, ma postać

a i

5= a'

1    2 _3_\    / 3_S±JL.) ₌

y/u' y/u' y/u)    W

4.(1,0,1).