DSC07356

130

Geometria analityczna w przestrzeni

Potrzebny jest jeszcze dowolny punkt P należący do prostej l. Punkt ten wyznaczymy z

układu równań    ,

f x    +2z = 4,

| i & y I == -6.

Przyjmując np. * = 0, otrzymamy y = 6 oraz z = 2. Zatem P = (0,6,2). Równanie parametryczne prostej / ma więc postać

f * = 2t,

/ : < y = 6 + 2t. gdzie t € R.

I * = 2 —t.

Równanie kierunkowe tej prostej ma postać

|. | _ V— 1 _ » — ?

2 1S -1 ' •

Wzajemne położenia punktów, prostych i płaszczyzn

• Przykład 5.15 Zbadać, czy

a) punkty .4 = (1, —2,5), B = (3, —2,11) należą do prostej

i. ^1—1 _ ?/ + ² _ *~⁵.

¹ -1    0 i -3 '

b) prosta

{x = 1 +1,

y = —21,    gdzie t € R

z = 3 + 3t,

jest zawarta w płaszczyźnie n : 3x + 3y + z — 6 = 0;

c) punkty A = (0,0,0), B = (0, — 1,3) należą do płaszczyzny

*=!+*-*•

—: < y = — 3 — a + 2t,    gdzie a, t 6 R;

[ z = 4-2t,

d) proste /j oraz /a mają punkt wspólny, jeżeli:

II N	I X = — 1 + «!
V=-K, z = 31,	gdzie R h'\ p = 2 — a, | z = —3 + 4s,
	z + 5 y z-3 ’ -2 T -1

jest równoległa do płaszczyzny n : x + y — ss+ 15 = 0;

m

e) prosta

Przykłady

131

O

płaszczyzny ir\ : 2x + 3p — 5z +30 = O,

"2 •-

są równoległe.

x = —5 +1, y =2 + 5 a + t, z = 1 + 3a +1,

gdzie a, ł G R

Rozwiązanie

a)    Równanie parametryczne prostej l ma postać

(*, y, z) = (l-t,-2,5-30,

gdzie t 6 R. Dla t = 0 otrzymujemy punkt A, zaś dla Ł = —2 punkt B. Oba punkty należą więc do prostej l.

b)    Podstawiając przedstawienia parametryczne współrzędnych prostej

r x = i + t,

I: < V = — 2t,    gdzie Ł € R

l z —3 + 31,

do równania płaszczyzny rr: 3x + 3y + z — 6 = 0 otrzymamy, że równość 3(1 + t) + 3(-2t) + (3 + 3t) — 6 = 0 jest prawdziwa dla każdego Ł 6 R. Oznacza to, że prosta / jest zawarta w płaszczyźnie ir,

c)    Podstawiając współrzędne punktu A = (0,0,0) do równania parametrycznego płaszczyzny

f x = l + a — t,

rr : < V = —3 — a + 2t, gdzie a, t S R, l * = 4 — 2*,

otrzymamy układ równań

r a — t= -1,

< a-2t = -3, l 2i = 4.

Rozwiązaniem tego układu jest para a = 1, t = 2. Oznacza to, że punkt A należy do płaszczyzny jr. Postępując podobnie z punktem B, otrzymamy sprzeczny układ równań. Oznacza to, że punkt B nie należy do płaszczyzny rr.

d)    Aby sprawdzić, czy proste h i li mają punkt wspólny rozwiązujemy układ równań

f t = -l+«,

< — 2t = 2 — a,

[ 3t = —3 + 4a.

Rozwiązaniem tego układu jest para t = —1, a = 0. Proste l\ i h mają zatem punkt wspólny. Współrzędne tego punktu odpowiadają wartościom t = — 1 i a = 0 parametrów I są równe z = —1, y = 2, z = —3.

e)    Prosta / o wektorze kierunkowym tJ jest równoległa do płaszczyzny ir o wektorze normalnym fi wtedy i tylko wtedy, gdy tło fl = 0. Wektor kierunkowy prostej rozważanej w zadaniu ma postać B = (—2,1, —1), a wektor normalny płaszczyzny ir postać ii = (1,1, —1). Wektory te spełniają warunek 0 o rl = 0, zatem prosta l jest równoległa do płaszczyzny ir.

f)    Dwie płaszczyzny są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne są