DSC07308

Wielomiany

Przykłady

Podstawowe definicje i własności

• Przykład 2.1

Obliczyć iloczyny podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych:

a)    P(x) = zr - V2x + 3, Q(x) = x³ — 2x² + 5x — 1, gdzie x 6 R;

b)    W(z) = z¹ + 3iz +1 — i, V{z) = -iz² + 4z - 6i, gdzie z 6 C.

Rozwiązanie aj Mamy

(P<3)W=P(z)'Q(z)

= (*^>--</2x + 3)-(^-2x^a+5z-l)

= *^ł-2x⁴+5*^ł-x^a-V5x⁴+2V2x*-5_V'2x^ł+^/2x+3x³-0x^a+15*-3

= x^s-(2+>^) +2 (4+v^) x»-(7+5n/2) *»+(l5+>/2) x-3.

b) Mamy

(W-V){j) = Wl_iz).V(z)

= (*^a + 3iz + l-_i).(__ilz_+4i_^

= -*• + 4z* -Oi*² + 3z» + I2iż> + 18z-(1 + M + 4(1 -i)z-6i-6 = -i*⁴ + 7x» + (« -i)*? ₊ (22 - *), — fl(i ₊ {);

Przykłady

39

• Przykład 2.2

Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q, jeżeli: a) P(x) = 2*« - 5x³ + 2x, Q[x) = ar* — 1; b) P(_x) = x« - 1, Q(*) = X⁶ + 1; c) P(z) = z® + 3z^a + 7tz - 1, <?(z) = ₂ - i.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy algorytm dzielenia wielomianów.

a)    Mamy

2x³ - 5x +    2 . ____ ,

(2x*    -    5x*    ;    +    2s) •    :    (x³-l)

-    2x⁴_+    Łr²    _

=    -    5** + 2x*    +    2®

+    5z*_,    —    . 5z

=    2x³    -    3*

- 2x^a    » 2

=    - 3z + 2

Iloraz 2i² - 5z + 2, reszta z dzielenia -3z -I- 2.

b)    Mamy

x^ł0 - x^ł -i-    1    „ Jg

ilfel¹⁵    ' W |IpPm I

- x^ia -    a¹⁰_

= - x¹⁰    j    -    1

+ x¹⁰ -I- z®    ■

^: =    X⁵    -    1

■    u    -    ii

~==    -    2

Iloraz x¹⁰ — x⁵ + 1, reszta z dzielenia —2.

c)    Mamy

s* + iz³ - z³ + (3 — i)z +    1 -I- 10j_

(*»    +    3z^a +    7iz    -    1) : (- — i)

- z⁵ + iz*_ _...    -

=    i-*    + ’ “3z^a + 7iz -    1

- .V¹ - z³_ ___    _

= - ;³ +    3z² +    ■ 7fż    —    "1: I

_± z® - j*^a__

=    (3 — i)*³ +    11 -    1

- (3-Oz³ + (1 + 3>)z _

=    (l    + 10x)z    -    1

-    (1 + 10i)z    -    (10-0

=    -    p-o