DSC07316

54

Wielomiany

Zadania

•    Zadanie 2.1

Obliczyć iloczyny podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych:

a)    P(x) = x⁴ - Sr³ + x — 1, Q(x) = X³ — x + 4;

b)    IF(r) = z³ + 5z³ - iz + 3. V(z) = (1 +t)z - 2.

•    Zadanie 2.2

Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q, jeżeli:

a)    P(x) = 2x⁴ — 3I³ + 4Z² — 5x + 6, Q(x) = x³ — 3x +1;

b)    P(x) = X¹⁶ -16, Q(x) = x⁴ + 2;

c)    P(z) = z⁵ - z³ +1, Q(z) = (x - »)³.

•    Zadanie 2.3

Tnależć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: a) X³ + x* — 4x — 4;    b) 3I³ - 7x² + 4x - 4;

c) X⁵ — 2x^ł — 4Z³ + 4x³ — 5x + 6; d) x⁴ + 3I³ — X² + 17x + 99.

■ Zadanie 2.4

Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów: a) X³ — ^z² — |x- i; b) 4x⁴ -Mx³ +3x² — x — 1; c)4x³+x-1;    d)x^s + |x³-x² + |x-|.

•    Zadanie 2J

Znaleźć pierwiastki podanych równań kwadratowych i dwukwadratowych: a) z³ — 4z + 13 = 0; b) z³ - (3-2t)z + (5 - 5i) = 0; c)z⁴+8z³ + l5 = 0; d) z⁴ -3iz² + 4 = 0.

•    Zadanie 2.6

Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych, znaleźć ich pozostałe pierwiastki:

a)    W(z) = z³ - 3V'2x² + 7x - 3VS, xj = i/Ź-t-i;

b)    W(x) = x«-2x³ + 7x³+6x-30, xi = 1 -fi;

c)    W'(x)=x⁴-6x³+18x^a-30x + 25, x, = 2 +i;

d) W(x) = x⁸-2x^s + 5*⁴ — Br³ + 8x² — 4x + 4, xj = i, xj = —v/3i;

e)    W(z) =    - a*⁸ + 18*⁴ - 28X³ + 31Z² - 22x +14, xj = 1 - i, x₃ = 2 - %/3l.

• Zadanie 2.7

Nie wykonując dzieleń znaleźć reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany

Zadania

55

Q(x) = X² — x — 2; Q(x) = x^J + 2;

Q(x) = x³ +1;

Q(x) = x^J-%, ' Q(x)=x^J-2x + 5; Q(x)=x³+8.

Q, jeżeli:

a)    P(x) = x® - 3I³ + 5i,

b)    P(x) = x¹⁴ - 4x¹⁰ + X² + y/2x,

c)    P(x) = a³⁰ + 3x¹⁴ + 2,

d)    P(x) = i¹⁰⁰ +1#' - 3x¹ + 1,

e)    P(x) = i⁵ + x — 2,

f)    P(x) = x⁶ + x — 50,

• Zadanie 2.8

Podać przykłady wielomianów zespolonych najniższego stopnia, które spełniają podane warunki:

a)    liczby 0,1 — 5t są pierwiastkami pojedynczymi, a liczby -1, -3 + i są pierwiastkami podwójnymi tego wielomianu;

b)    liczba —4i jest pierwiastkiem podwójnym, a liczby 3, —5 pierwiastkami potrójnymi tego wielomianu.

• Zadanie 2.9

Podać przykłady wielomianów rzeczywistych najniższego stopnia, które spełniają podane warunki:

a)    liczby 1, -5, — \/2 oraz 1 - 3i są pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu;

b)    liczba 1 + i jest pierwiastkiem pojedynczym, liczby -i oraz 3 są pierwiastkami podwójnymi, a liczba -4 + 3i jest pierwiastkiem potrójnym tego wielomianu.

1

   Zadanie 2.10

Podane wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianów: a) z¹ —Hz — 10; b) z¹ + 5z¹ + 6; ć)z³- 6z - 9.

•    Zadanie 2.11

Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkiadalnych czynników rzeczywistych: a) x^s -ł-8;    b)x⁴+4;

c) x" - X¹ + 1; d) 4x⁵ - 4x⁴ - 13x³ + 13x² + 9x - 9.

•    Zadanie 2.12

Podane funkcje wymierne (rzeczywiste lub zespolone) rozłożyć na sumy wielomianów oraz funkcji wymiernych właściwych:

z⁶ — 3;² -1- z    . x⁵ -l: 3 x⁴ + 2x³ + 3x^a + 4x + 5

^a) ₂3+4z^a + l^:    ' x⁵ + 4' ^C} x³ + 2x» + 3x + 4    '

• Zadanie¹ 2.13

Zaproponować rozkłady podanych zespolonych funkcji wymiernych właściwych na