Image0089 BMP

gdzie: L jest krzywą brzegowy powierzchni S. Ponieważ wektor dl jest prostopadły do 1_a wzdłuż obu części krzywej L, znajdujących się na górnej i dolnej powierzchni płyty, zai u=0 w punkcie P krzywej brzegowej płyty, więc całka zawarta po prawej stronic równani* (9.76) równa się gu(x,y), gdzie x, y są współrzędnymi punktu A (rys. 9.9). Prąd prze* pływający przez powierzchnię .S' równa się zatem

l=u(x,y).

Oznacza to, że funkcja «(*, j) jest równa prądowi przepływającemu przez linię łączą punkt A[x,y) z dowolnym punktem P na krzywej brzegowej płytki [33].

9.7. Straty wiroprądowe

9.7.1. Uwagi ogólne

Jeśli zmienny w czasie strumień magnetyczny wnika do ciała metalowego, wówczat indukują się w nim prądy wirowe, krążące we wnętrzu ciała. Przy przepływie prądów wirowych w środowisku przewodzącym powstają straty mocy przekształcane na ciepło. Straty te noszą nazwę strat wiroprądowych. Przy silnej koncentracji pola elektromagnetycznego w pewnych obszarach straty wiroprądowe mogą przybierać znaczne wartości, stając się przyczyną przegrzań lokalnych, które mogą spowodować trwałe uszkodzenie urządzeń. 2 tego powodu analiza pól elektromagnetycznych w środowiskach przewodzących oraz obliczanie strat wiroprądowych są bardzo ważnymi zagadnieniami technicznymi.

Zagadnienia powyższe są trudne i wymagają stosowania złożonego aparatu matematycznego. W dalszym ciągu omówimy kilka stosunkowo prostych zagadnień z tej dziedziny.

9.7.2. Cienka płytka kołowa w poprzecznym polu magnetycznym równomiernym

Linie równomiernego pola magnetycznego o indukcji magnetycznej B₀ są prostopadłe do bardzo cienkiej płytki kołowej o promieniu r₀ (rys. 9.10). Wprowadzimy układ współrzędnych biegunowych r, 0. Ze względu na symetrię układu, gęstość prądu induko-

Rys. 9.10. Płytka kołowa w polu magnetycznym poprzecznym

wnnego w płytce ma tylko składową J, zależną tylko od zmiennej r. czyli Pominiemy oddziaływanie pola magnetycznego wytwarzanego przez prądy wirowe na pole zewnętrzne. Niech g oznacza grubość płytki, a y — jej konduktywność.

Wyznaczenie gęstości prądu J_t sprowadza się do rozwiązania równania różniczkowego (‘>.75) 2 pominięciem wyrazu zawierającego pochodną względem zmiennej 6, czyli

1 £ r dr

■jorygB₀,

(9.77)

howiem w tym przypadku u jest funkcją jednej zmiennej r. Zgodnie z wywodami przeprowadzonymi w p. 9.6, rozwiązanie powyższego równania powinno spełniać warunek brzegowy w(r_o)=0.

Na podstawie równania (9.77) otrzymujemy

d

dr

jeuygfl₀r

i całkując stronami to równanie w granicach od 0 do r, mamy

czyli

du    r²

r--j0W*,_T

»

du

dr

1

}cay{;B₀r.

Całkując stronami to równanie w granicach od r do r₀, znajdujemy

(9.78) .

u (r)=ł jmygB^r²-rg),

przy uwzględnieniu, że u(r_o)=0.

Gęstość prądu wyznaczamy na podstawie wzoru (9.70), a mianowicie

1    1' du

ro^tt l.)=--— ,

‘    9    9 dr

skąd po obliczeniu pochodnej funkcji u(r) z zależności (9.78), otrzymujemy

= -łj v>y^Bo ^r *    (9.79)

Stwierdzamy, że przy przyjętych założeniach gęstość prądu w płytce jest proporcjonalna <b promienia r.

Obecnie obliczymy straty wiroprądowe w płytce. Gęstość mocy prądów wirowych wyraża się wzorem (por. p. 8.3)

(9.80)

Straty wiropnjdowe otrzymujemy, całkując to wyrażenie w obszarze płytki, czyli