3582320543

Wykład 1

Przestrzenie liniowe

W geometrii analitycznej w przestrzeni R³ operowaliśmy wektorami. W zbiorze tych wektorów wprowadziliśmy dwa działania:

{x,y,z) + {xi,yi,zi) = (z + xi,y+ yi,z +zi), k(ay, z) — (kx, ky, kz)

gdzie k jest dowolnym elementem ciała liczb rzeczywistych. Zauważyliśmy również, że działania te mają następujące własności:

1.    (R³,4-) jest grupą abelową,

2.    V«, v £ R³,    £ R k(u 4- v) —ku + ky,

3.    G R³, VA?, leR (k + l)u = ku-r lv,

4.    G R³, VA:, leR &(£«) = (kl)u,

5.    G R³ lu = «.

Możemy teraz uogólnić powyższą konstrukcję. Wprowadźmy w zbiorze Rⁿ — £n)i %i £ R} dwa działania:

(®i, *2, • • •, *«) + (l/i, 2/2, - ■, K») = (®1 + Ki, *2 + K2, • • •, *» + K„),

A:^xi, 2:25... j 34^) — [kx 1, kx2). *., k^Cftj

gdzie A: jest dowolnym elementem ciała R. Można sprawdzić, że podobnie jak poprzednio spełnione są własności:

1.    (Rⁿ, 4-) jest grupą abelową,

2.    V«, v £ Rⁿ, VA: G R k(u 4- v) = ku + ku,

3.    G Rⁿ, Vfc, l £ R (A: 4-1)u = A^, 4- lv,

4.    V« G R”,VAr,IGR &(?«) — (A;£)«,

5.    Vu G Rⁿ lu = «.

Zauważmy, że działanie liczby rzeczywistej k na ciąg    ...,x_n) nie jest

działaniem w sensie podanym na wykładzie w pierwszym semestrze, bo nie działa się tu wewnątrz pewnego zbioru, a działa się liczbami rzeczywistymi na elementy ze zbioru Rⁿ. Takie działanie będziemy nazywać działaniem zewnętrznym. Dokładniej działaniem zewnętrznym zbioru K na zbiór V nazywamy przyporządkowanie każdej parze (k,v) £ K x V elementu zbioru V, czyli działaniem zewnętrznym jest następująca funcja:

ip:KxV->V

zamiast pisać <p(k,v) będziemy zwykle używać zapisu kv pamiętając, że k jest elementem zbioru K, v jest elementem zbioru V, a wynik kv jest znów elementem zbioru V.

1